数列 $\{a_n\}$ の極限を求める問題です。与えられた漸化式と初期条件に基づいて、(1)と(2)それぞれの数列の極限を求めます。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の極限を求める問題です。与えられた漸化式と初期条件に基づいて、(1)と(2)それぞれの数列の極限を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

与えられた漸化式は $a_{n+2} + a_n = 2a_{n+1}$ です。これは、$a_{n+2} - a_{n+1} = a_{n+1} - a_n$ と変形できます。これは、数列 $\{a_{n+1} - a_n\}$ が等差数列であることを意味します。

$a_2 - a_1 = 2 - 1 = 1$ なので、数列 $\{a_{n+1} - a_n\}$ は初項1の等差数列です。したがって、$a_{n+1} - a_n = 1$ が成り立ちます。

これから、$a_{n+1} = a_n + 1$ となり、数列 $\{a_n\}$ は初項 $a_1 = 1$、公差1の等差数列であることがわかります。

よって、$a_n = a_1 + (n-1) \cdot 1 = 1 + (n-1) = n$ です。

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} n = \infty$ となります。

(2)

与えられた漸化式は $3a_{n+2} - 5a_{n+1} + 2a_n = 0$ です。これを $3a_{n+2} = 5a_{n+1} - 2a_n$ と変形し、$a_{n+2} = \frac{5}{3} a_{n+1} - \frac{2}{3} a_n$ とします。

この漸化式の特性方程式は $3x^2 - 5x + 2 = 0$ です。

これを解くと、$(3x - 2)(x - 1) = 0$ より、$x = 1, \frac{2}{3}$ となります。

したがって、数列 $\{a_n\}$ の一般項は、$a_n = A \cdot 1^n + B \cdot (\frac{2}{3})^n = A + B (\frac{2}{3})^n$ と表されます。

初期条件 $a_1 = 0$、$a_2 = 1$ を代入すると、

$a_1 = A + B \cdot \frac{2}{3} = 0$

$a_2 = A + B \cdot (\frac{2}{3})^2 = 1$

この連立方程式を解きます。

$A + \frac{2}{3}B = 0$ より、$A = -\frac{2}{3}B$

$A + \frac{4}{9}B = 1$ に代入すると、$-\frac{2}{3}B + \frac{4}{9}B = 1$

$-\frac{6}{9}B + \frac{4}{9}B = 1$

$-\frac{2}{9}B = 1$

$B = -\frac{9}{2}$

$A = -\frac{2}{3} (-\frac{9}{2}) = 3$

したがって、$a_n = 3 - \frac{9}{2} (\frac{2}{3})^n$ となります。

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (3 - \frac{9}{2} (\frac{2}{3})^n) = 3 - \frac{9}{2} \cdot 0 = 3$

3. 最終的な答え

(1) $\infty$

(2) $3$