微分可能な2つの関数 $f(x)$ と $g(x)$ (ただし $g(x) \neq 0$) が与えられたとき、次の関数の微分を微分の定義から導きます。 (1) $f(x)g(x)$ (2) $\frac{f(x)}{g(x)}$

1. 問題の内容

微分可能な2つの関数 $f(x)$ と $g(x)$ (ただし $g(x) \neq 0$) が与えられたとき、次の関数の微分を微分の定義から導きます。

(1) $f(x)g(x)$

(2) $\frac{f(x)}{g(x)}$

2. 解き方の手順

(1) 積の微分 $(f(x)g(x))'$ を導く

微分の定義より、

$(f(x)g(x))' = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h}$

$f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)$ に $f(x+h)g(x) - f(x+h)g(x)$ を加えると、

$f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x) = f(x+h)g(x+h) - f(x+h)g(x) + f(x+h)g(x) - f(x)g(x)$

$= f(x+h)(g(x+h) - g(x)) + g(x)(f(x+h) - f(x))$

$(f(x)g(x))' = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)(g(x+h) - g(x)) + g(x)(f(x+h) - f(x))}{h}$

$= \lim_{h \to 0} f(x+h) \frac{g(x+h) - g(x)}{h} + \lim_{h \to 0} g(x) \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

$= f(x)g'(x) + g(x)f'(x)$

(2) 商の微分 $(\frac{f(x)}{g(x)})'$ を導く

微分の定義より、

$(\frac{f(x)}{g(x)})' = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)} - \frac{f(x)}{g(x)}}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x) - f(x)g(x+h)}{h g(x)g(x+h)}$

$f(x+h)g(x) - f(x)g(x+h)$ に $-f(x)g(x) + f(x)g(x)$ を加えると、

$f(x+h)g(x) - f(x)g(x+h) = f(x+h)g(x) - f(x)g(x) + f(x)g(x) - f(x)g(x+h)$

$= g(x)(f(x+h) - f(x)) - f(x)(g(x+h) - g(x))$

$(\frac{f(x)}{g(x)})' = \lim_{h \to 0} \frac{g(x)(f(x+h) - f(x)) - f(x)(g(x+h) - g(x))}{h g(x)g(x+h)}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{g(x)\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - f(x)\frac{g(x+h) - g(x)}{h}}{g(x)g(x+h)}$

$= \frac{g(x)f'(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $(f(x)g(x))' = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)$

(2) $(\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{g(x)f'(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$