与えられた極限 $\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$ を利用して、$e^x$ と $\log x$ の1階微分を求める問題です。ただし、$x > 0$。

1. 問題の内容

与えられた極限 $\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$ を利用して、$e^x$ と $\log x$ の1階微分を求める問題です。ただし、$x > 0$。

2. 解き方の手順

(1) $e^x$ の微分を求める。

$f(x) = e^x$ とおく。定義に従って微分を計算する。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^x e^h - e^x}{h} = e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}$

与えられた極限の式を使うと、$\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$ であるから、

$f'(x) = e^x \cdot 1 = e^x$

したがって、$e^x$ の微分は $e^x$ である。

(2) $\log x$ の微分を求める。

$y = \log x$ とおく。このとき、$x = e^y$ である。

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{d}{dx}(x) = \frac{d}{dx}(e^y)$

$1 = \frac{d}{dy}(e^y) \frac{dy}{dx}$

$1 = e^y \frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y}$

$x = e^y$ であるから、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$

したがって、$\log x$ の微分は $\frac{1}{x}$ である。

3. 最終的な答え

$e^x$ の1階微分は $e^x$

$\log x$ の1階微分は $\frac{1}{x}$