$m, n$ を正の実数とする。座標平面上において、曲線 $y=|x^2-x|$ を $C$ とし、直線 $y=mx+n$ を $l$ とする。$0 < x < 1$ の範囲で、直線 $l$ は曲線 $C$ と点 $P$ で接しているとする。 (1) 直線 $l$ の傾き $m$ を $n$ を用いて表せ。 (2) 点 $P$ の $x$ 座標を $n$ を用いて表せ。 (3) $x < 0$ の範囲における直線 $l$ と曲線 $C$ の交点を $Q$ とし、$x > 1$ の範囲における直線 $l$ と曲線 $C$ の交点を $R$ とする。$QP:PR = 1:3$ であるとき、$m$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$m, n$ を正の実数とする。座標平面上において、曲線 $y=|x^2-x|$ を $C$ とし、直線 $y=mx+n$ を $l$ とする。$0 < x < 1$ の範囲で、直線 $l$ は曲線 $C$ と点 $P$ で接しているとする。

(1) 直線 $l$ の傾き $m$ を $n$ を用いて表せ。

(2) 点 $P$ の $x$ 座標を $n$ を用いて表せ。

(3) $x < 0$ の範囲における直線 $l$ と曲線 $C$ の交点を $Q$ とし、$x > 1$ の範囲における直線 $l$ と曲線 $C$ の交点を $R$ とする。$QP:PR = 1:3$ であるとき、$m$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $0 < x < 1$ のとき、$y = |x^2 - x| = -x^2 + x$ である。

$y' = -2x + 1$

点 $P$ の $x$ 座標を $p$ とすると、$0 < p < 1$ であり、接線 $l$ の傾きは $m = -2p + 1$ である。

点 $P$ の $y$ 座標は $y = -p^2 + p$ である。

点 $P$ は直線 $l$ 上にあるので、$-p^2 + p = mp + n$ が成り立つ。

$m = -2p + 1$ を代入すると、$-p^2 + p = (-2p + 1)p + n$

$-p^2 + p = -2p^2 + p + n$

$p^2 = n$

$p = \sqrt{n}$ （$p > 0$ より）

よって、$m = -2\sqrt{n} + 1$

(2) 点 $P$ の $x$ 座標は $p = \sqrt{n}$ である。

(3)

$x < 0$ のとき、$y = |x^2 - x| = x^2 - x$ である。

直線 $l$ と曲線 $C$ の交点 $Q$ の $x$ 座標を $q$ とすると、

$x^2 - x = mx + n$

$x^2 - (m+1)x - n = 0$

解の公式より、

$x = \frac{(m+1) \pm \sqrt{(m+1)^2 + 4n}}{2}$

$q = \frac{m+1 - \sqrt{(m+1)^2 + 4n}}{2}$ （$q < 0$ より）

$x > 1$ のとき、$y = |x^2 - x| = x^2 - x$ である。

直線 $l$ と曲線 $C$ の交点 $R$ の $x$ 座標を $r$ とすると、

$x^2 - x = mx + n$

$x^2 - (m+1)x - n = 0$

解の公式より、

$x = \frac{(m+1) \pm \sqrt{(m+1)^2 + 4n}}{2}$

$r = \frac{m+1 + \sqrt{(m+1)^2 + 4n}}{2}$ （$r > 1$ より）

$QP:PR = 1:3$ より、$3QP = PR$ が成り立つ。

$3(p-q) = r-p$

$4p = r + 3q$

$4\sqrt{n} = \frac{m+1 + \sqrt{(m+1)^2 + 4n}}{2} + 3\frac{m+1 - \sqrt{(m+1)^2 + 4n}}{2}$

$8\sqrt{n} = 4(m+1) - 2\sqrt{(m+1)^2 + 4n}$

$4\sqrt{n} = 2(m+1) - \sqrt{(m+1)^2 + 4n}$

$\sqrt{(m+1)^2 + 4n} = 2(m+1) - 4\sqrt{n}$

$(m+1)^2 + 4n = 4(m+1)^2 - 16(m+1)\sqrt{n} + 16n$

$3(m+1)^2 - 16(m+1)\sqrt{n} + 12n = 0$

$m = -2\sqrt{n} + 1$ より、$m+1 = -2\sqrt{n} + 2$

$3(-2\sqrt{n} + 2)^2 - 16(-2\sqrt{n} + 2)\sqrt{n} + 12n = 0$

$3(4n - 8\sqrt{n} + 4) + 32n - 32\sqrt{n} + 12n = 0$

$12n - 24\sqrt{n} + 12 + 32n - 32\sqrt{n} + 12n = 0$

$56n - 56\sqrt{n} + 12 = 0$

$14n - 14\sqrt{n} + 3 = 0$

$\sqrt{n} = t$ と置くと、$14t^2 - 14t + 3 = 0$

$t = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 168}}{28} = \frac{14 \pm \sqrt{28}}{28} = \frac{14 \pm 2\sqrt{7}}{28} = \frac{7 \pm \sqrt{7}}{14}$

$\sqrt{n} = \frac{7 \pm \sqrt{7}}{14}$

$m = -2\sqrt{n} + 1 = -2\frac{7 \pm \sqrt{7}}{14} + 1 = -\frac{7 \pm \sqrt{7}}{7} + 1 = \frac{-7 \mp \sqrt{7} + 7}{7} = \mp \frac{\sqrt{7}}{7}$

$m > 0$ より、$m = \frac{\sqrt{7}}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $m = -2\sqrt{n} + 1$

(2) $\sqrt{n}$

(3) $m = \frac{\sqrt{7}}{7}$