関数 $y = \ln(4\ln(x^2))$ を微分する。

1. 問題の内容

関数 $y = \ln(4\ln(x^2))$ を微分する。

2. 解き方の手順

この関数を微分するには、合成関数の微分（連鎖律、chain rule）を繰り返し用いる。

まず、外側の $\ln$ を微分する。$\ln(u)$ の微分は $\frac{1}{u}$ である。この場合、$u = 4\ln(x^2)$ なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4\ln(x^2)} \cdot \frac{d}{dx} (4\ln(x^2))$

次に、$4\ln(x^2)$ を微分する。定数倍の微分は、$4$ をそのままにして $\ln(x^2)$ を微分すれば良い。 $\ln(v)$ の微分は $\frac{1}{v}$ であり、$v = x^2$ なので、

$\frac{d}{dx}(4\ln(x^2)) = 4 \cdot \frac{1}{x^2} \cdot \frac{d}{dx} (x^2)$

最後に、$x^2$ を微分する。これは $2x$ である。

$\frac{d}{dx} (x^2) = 2x$

これらを全てまとめると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4\ln(x^2)} \cdot 4 \cdot \frac{1}{x^2} \cdot 2x$

式を整理する。$4$を約分し、$x$を約分する。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ln(x^2)} \cdot \frac{1}{x^2} \cdot 2x = \frac{2}{x\ln(x^2)}$

$\ln(x^2) = 2\ln(x)$ と変形できるので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{x \cdot 2\ln(x)} = \frac{1}{x\ln(x)}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x\ln(x)}$