関数 $f(x) = e^{x^2}$ のマクローリン展開（$x=0$ でのテイラー展開）を3次の項まで求め、4次以降は省略する。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = e^{x^2}$ のマクローリン展開（$x=0$ でのテイラー展開）を3次の項まで求め、4次以降は省略する。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ の $x=0$ におけるテイラー展開であり、以下の式で与えられます。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + ...$

まず、$f(x)$ の導関数を求めます。

$f(x) = e^{x^2}$

$f'(x) = 2xe^{x^2}$

$f''(x) = 2e^{x^2} + 4x^2e^{x^2} = (2+4x^2)e^{x^2}$

$f'''(x) = 8xe^{x^2} + (2+4x^2)2xe^{x^2} = (12x + 8x^3)e^{x^2}$

次に、$x=0$ におけるこれらの導関数の値を求めます。

$f(0) = e^0 = 1$

$f'(0) = 2(0)e^0 = 0$

$f''(0) = (2+4(0)^2)e^0 = 2$

$f'''(0) = (12(0)+8(0)^3)e^0 = 0$

これらの値をマクローリン展開の式に代入すると、

$f(x) = 1 + 0x + \frac{2}{2!}x^2 + \frac{0}{3!}x^3 + ...$

$f(x) = 1 + x^2 + ...$

4次以降の項は問題文の指示に従い、$R$や$Rx^4$などと記述すれば良いですが、ここでは省略して「...」と記述します。

3. 最終的な答え

$f(x) = 1 + x^2 + ...$