(1) 2次不等式 $4x^2 + 12x + 9 \geq 0$ を解く。 (2) 2次不等式 $-x^2 + 2\sqrt{2}x - 2 > 0$ を解く。 (3) 不等式 $-x^2 + 2mx - (2m^2 + 3m - 4) < 0$ がすべての実数 $x$ に対して成り立つような、$m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

(1) 2次不等式 $4x^2 + 12x + 9 \geq 0$ を解く。

(2) 2次不等式 $-x^2 + 2\sqrt{2}x - 2 > 0$ を解く。

(3) 不等式 $-x^2 + 2mx - (2m^2 + 3m - 4) < 0$ がすべての実数 $x$ に対して成り立つような、$m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2 \geq 0$ より、すべての実数 $x$ に対して不等式が成り立つ。したがって、答えは「すべての実数」である。

(2) $-x^2 + 2\sqrt{2}x - 2 > 0$ の両辺に $-1$ をかけると $x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 < 0$ となる。

$x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 = (x - \sqrt{2})^2 < 0$ となる。

しかし、実数の2乗は必ず0以上なので、$(x - \sqrt{2})^2 < 0$ を満たす実数 $x$ は存在しない。したがって、答えは「解なし」である。

(3) 不等式 $-x^2 + 2mx - (2m^2 + 3m - 4) < 0$ がすべての実数 $x$ に対して成り立つ条件を求める。まず、両辺に $-1$ をかけると $x^2 - 2mx + (2m^2 + 3m - 4) > 0$ となる。

これがすべての実数 $x$ について成り立つためには、$x^2 - 2mx + (2m^2 + 3m - 4) = 0$ の判別式 $D$ が $D < 0$ である必要がある。

$D/4 = (-m)^2 - (2m^2 + 3m - 4) = m^2 - 2m^2 - 3m + 4 = -m^2 - 3m + 4$

したがって、$-m^2 - 3m + 4 < 0$ であり、$m^2 + 3m - 4 > 0$ となる。

$(m + 4)(m - 1) > 0$ より、$m < -4$ または $m > 1$ となる。

3. 最終的な答え

1: 3

2: 4

3: >

4: <

5: -1

6: 3

7: 4

8: 4

9: 1

10: >

11: $m < -4, m > 1$