実数 $x$ に対し、$n \le x < n+1$ を満たす整数 $n$ を記号 $[x]$ で表す。 (1) 関数 $y = x[x]$ ($0 \le x < 3$) のグラフを描け。 (2) $a$ を正の定数とする。曲線 $y = ax^2 + \frac{5}{2}$ と(1)のグラフが相異なる2つの共有点をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

実数 $x$ に対し、$n \le x < n+1$ を満たす整数 $n$ を記号 $[x]$ で表す。

(1) 関数 $y = x[x]$ ($0 \le x < 3$) のグラフを描け。

(2) $a$ を正の定数とする。曲線 $y = ax^2 + \frac{5}{2}$ と(1)のグラフが相異なる2つの共有点をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

区間を分けて考える。

$0 \le x < 1$ のとき、$[x] = 0$ より、$y = x \cdot 0 = 0$。

$1 \le x < 2$ のとき、$[x] = 1$ より、$y = x \cdot 1 = x$。

$2 \le x < 3$ のとき、$[x] = 2$ より、$y = x \cdot 2 = 2x$。

したがって、$y=x[x]$ のグラフは、

$0 \le x < 1$ で $y=0$

$1 \le x < 2$ で $y=x$

$2 \le x < 3$ で $y=2x$

となる。

(2)

$y = ax^2 + \frac{5}{2}$ と $y = x[x]$ のグラフが異なる2つの共有点を持つ条件を考える。

まず、$0 \le x < 1$ の範囲では、$y = 0$ と $y = ax^2 + \frac{5}{2}$ が共有点を持つことはない（なぜなら$ax^2 + \frac{5}{2}$ は常に正）。

次に、$1 \le x < 2$ の範囲では、$y = x$ と $y = ax^2 + \frac{5}{2}$ が共有点を持つ条件を考える。

$ax^2 - x + \frac{5}{2} = 0$

判別式を $D$ とすると、$D = (-1)^2 - 4a(\frac{5}{2}) = 1 - 10a$

この範囲で共有点を持つためには、$1 - 10a > 0$、つまり、$a < \frac{1}{10}$ が必要。

また、この方程式の解 $x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 10a}}{2a}$ が、$1 \le x < 2$ を満たす必要がある。

次に、$2 \le x < 3$ の範囲では、$y = 2x$ と $y = ax^2 + \frac{5}{2}$ が共有点を持つ条件を考える。

$ax^2 - 2x + \frac{5}{2} = 0$

判別式を $D$ とすると、$D = (-2)^2 - 4a(\frac{5}{2}) = 4 - 10a$

この範囲で共有点を持つためには、$4 - 10a > 0$、つまり、$a < \frac{2}{5}$ が必要。

また、この方程式の解 $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 10a}}{2a}$ が、$2 \le x < 3$ を満たす必要がある。

$y=ax^2 + \frac{5}{2}$ が $y=x[x]$と2つの共有点を持つためには、

i) $1 \le x < 2$ の範囲に2つの共有点を持つ

ii) $2 \le x < 3$ の範囲に2つの共有点を持つ

iii) $1 \le x < 2$ と $2 \le x < 3$ の範囲にそれぞれ1つずつ共有点を持つ

のいずれかの条件を満たす必要がある。

$a = \frac{1}{10}$ の時、$ax^2 -x + \frac{5}{2} = 0$ は $x = 5$。これは$1 \le x < 2$の範囲外。

$ax^2 - 2x + \frac{5}{2} = 0$ の時、$4-10a=0$ となる $a = \frac{2}{5}$ では、$x = \frac{2}{2a} = \frac{1}{a} = \frac{5}{2}$。これは $2 \le x < 3$ の範囲。

$a > \frac{2}{5}$ ならば $4-10a < 0$ となり、共有点を持たない。

したがって、$a < \frac{2}{5}$ となる。

次に、$y=ax^2+\frac{5}{2}$ が点(1,1)を通る時、$a = -\frac{3}{2}$となるが、$a>0$より不適

$y=ax^2+\frac{5}{2}$が点(2,4)を通る時、$4=4a+\frac{5}{2}$より$a=\frac{3}{8}$

よって、$0 < a < \frac{3}{8}$

3. 最終的な答え

$0 < a < \frac{3}{8}$