$a \ge \frac{1}{2}$ のとき、$x = \sqrt{2a-1}$ が与えられている。このとき、$\sqrt{a^2 - x^2}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a \ge \frac{1}{2}$ のとき、$x = \sqrt{2a-1}$ が与えられている。このとき、$\sqrt{a^2 - x^2}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x = \sqrt{2a-1}$ の両辺を2乗して、$x^2$ を $a$ の式で表す。

$x^2 = (\sqrt{2a-1})^2$

$x^2 = 2a - 1$

次に、求める式 $\sqrt{a^2 - x^2}$ に、$x^2 = 2a - 1$ を代入する。

$\sqrt{a^2 - x^2} = \sqrt{a^2 - (2a - 1)}$

$\sqrt{a^2 - x^2} = \sqrt{a^2 - 2a + 1}$

$\sqrt{a^2 - x^2} = \sqrt{(a - 1)^2}$

$\sqrt{a^2 - x^2} = |a - 1|$

$a \ge \frac{1}{2}$ であるが、$a-1$ の正負は、$a \ge 1$ ならば $a-1 \ge 0$ で、$\frac{1}{2} \le a < 1$ ならば $a-1 < 0$ である。

問題文から $a \ge \frac{1}{2}$ だけが与えられているため、$a - 1$ の符号は決定できない。

$x = \sqrt{2a-1}$ より、$x$ は実数であるため $2a - 1 \ge 0$ であり、$a \ge \frac{1}{2}$ が成り立つ。

$\sqrt{(a - 1)^2} = |a - 1|$ について、a の範囲が特定されていないため、絶対値を外すことができない。

しかし、$x = \sqrt{2a - 1}$ であることと、求める値が $\sqrt{a^2 - x^2}$ であることから、$a^2 - x^2 \ge 0$ である必要がある。

$a = \frac{1}{2}$ のとき、$x = \sqrt{2(\frac{1}{2})-1} = 0$ である。$\sqrt{a^2 - x^2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 - 0^2} = \frac{1}{2}$

$|a-1| = |\frac{1}{2}-1| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$

$a > 1$ の場合、$a - 1 > 0$ であるため $|a - 1| = a - 1$

$a - 1$が答えであると仮定する。

$a=2$のとき、$x=\sqrt{2(2)-1} = \sqrt{3}$なので、$\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{2^2 - 3} = 1$

また、$a-1=2-1=1$なので、$a-1$が答えとして正しい。

$\frac{1}{2} \le a \le 1$ の場合、$a-1 < 0$ であるため $|a-1| = -(a-1) = 1 - a$

$a = 1$ のとき、$x = \sqrt{2(1)-1} = 1$ である。$\sqrt{a^2 - x^2} = \sqrt{1^2 - 1^2} = 0$

$|a-1| = |1-1| = 0$ なので、|a-1|が答えとして正しい。

また、$a = \frac{3}{4}$ のとき、$x = \sqrt{2 \cdot \frac{3}{4} - 1} = \sqrt{\frac{1}{2}}$ である。

$\sqrt{a^2 - x^2} = \sqrt{(\frac{3}{4})^2 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{9}{16} - \frac{8}{16}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$

$|a - 1| = |\frac{3}{4} - 1| = |\frac{-1}{4}| = \frac{1}{4}$

以上より、$|a-1|$ が答えとして正しい。

3. 最終的な答え

$|a-1|$