$a \geq \frac{1}{2}$、かつ $x = \sqrt{2a-1}$のとき、$\sqrt{a^2-x^2}$の値を求める。

1. 問題の内容

$a \geq \frac{1}{2}$、かつ $x = \sqrt{2a-1}$のとき、$\sqrt{a^2-x^2}$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x = \sqrt{2a-1}$ を2乗して $x^2$ を求める。

$x^2 = (\sqrt{2a-1})^2 = 2a-1$

次に、$\sqrt{a^2 - x^2}$ に $x^2 = 2a-1$ を代入する。

$\sqrt{a^2 - x^2} = \sqrt{a^2 - (2a-1)}$

根号の中を計算する。

$\sqrt{a^2 - 2a + 1}$

根号の中身が $(a-1)^2$ に因数分解できることに気付く。

$\sqrt{(a-1)^2}$

$\sqrt{(a-1)^2}$ は絶対値 $|a-1|$ に等しい。

$\sqrt{(a-1)^2} = |a-1|$

問題文より、$a \geq \frac{1}{2}$ である。特に $a-1 \geq \frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$ であることしかわからないので、絶対値記号を外すことはできない。しかし、aは$\frac{1}{2}$より大きいので、$a=1$を考えれば良い。$a=1$のとき$x=\sqrt{2*1-1} = 1$であり、$\sqrt{a^2-x^2} = \sqrt{1^2-1^2} = 0$である。そして$|a-1| = |1-1| = 0$である。よって、$|a-1|=0$となる。

$a \geq \frac{1}{2}$のとき、$a-1 \geq \frac{1}{2}-1 = -\frac{1}{2}$である。しかし、$a > 0$であり、$x = \sqrt{2a-1}$なので、$2a-1 \geq 0$であり、$2a \geq 1$。$a \geq \frac{1}{2}$なので$a-1$の値は負の値になる可能性があるので絶対値記号は外せない。

$a > 1$の場合、$|a-1| = a-1$となる。例えば$a=2$の時、$x = \sqrt{2*2-1}=\sqrt{3}$であり$\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{4-3} = 1$となる。このとき$|a-1| = |2-1|=1$となるので$a-1$となる。

$a = 1$の場合、$|a-1| = |1-1| = 0$となる。

$a < 1$の場合、$|a-1| = -(a-1) = 1-a$となる。例えば$a=\frac{1}{2}$の場合、$x = \sqrt{2*\frac{1}{2}-1}=\sqrt{0} = 0$となり、$\sqrt{a^2-x^2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 - 0^2}=\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$となる。このとき$|a-1|=|\frac{1}{2}-1| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$なので、$1-a$となる。

$x^2 = 2a-1$より、$a = (x^2+1)/2$。よって

$a-1 = (x^2+1)/2 - 1 = (x^2+1-2)/2 = (x^2-1)/2$

$\sqrt{(a-1)^2} = |a-1|$

$a-1$の場合、$x = \sqrt{2a-1}$より、$a$の値によって、$a-1$になったり、$1-a$になる。

3. 最終的な答え

$|a-1|$