複素数平面上に3点A(z), B($z^3$), C($z^5$)がある。 (1) A, B, Cが異なる3点となるためのzの条件を求める。 (2) 異なる3点A, B, Cが同一直線上にあるようなzをすべて求める。 (3) A, B, Cが正三角形の頂点となるとき、$z^2$の値をすべて求める。そのとき、さらにA, B, Cがこの順に反時計回りの位置にあるようなzをすべて求める。 (4) 直線ACと直線BCが垂直であるとき、|z|<1が成り立つことを示す。

1. 問題の内容

複素数平面上に3点A(z), B($z^3$), C($z^5$)がある。

(1) A, B, Cが異なる3点となるためのzの条件を求める。

(2) 異なる3点A, B, Cが同一直線上にあるようなzをすべて求める。

(3) A, B, Cが正三角形の頂点となるとき、$z^2$の値をすべて求める。そのとき、さらにA, B, Cがこの順に反時計回りの位置にあるようなzをすべて求める。

(4) 直線ACと直線BCが垂直であるとき、|z|<1が成り立つことを示す。

2. 解き方の手順

(1) A, B, Cが異なる3点となるためには、以下の条件を満たす必要がある。

$z \neq z^3$

$z \neq z^5$

$z^3 \neq z^5$

これらの条件を整理する。

$z \neq z^3 \Leftrightarrow z(1-z^2) \neq 0 \Leftrightarrow z \neq 0, z \neq \pm 1$

$z \neq z^5 \Leftrightarrow z(1-z^4) \neq 0 \Leftrightarrow z \neq 0, z \neq \pm 1, z \neq \pm i$

$z^3 \neq z^5 \Leftrightarrow z^3(1-z^2) \neq 0 \Leftrightarrow z \neq 0, z \neq \pm 1$

したがって、$z \neq 0, z \neq \pm 1, z \neq \pm i$

(2) A, B, Cが同一直線上にあるとき、複素数平面上の3点が同一直線上にある条件は、$\frac{z^3-z}{z^5-z}$ が実数であることである。ただし、$z \neq 0, z \neq \pm 1, z \neq \pm i$

$\frac{z^3-z}{z^5-z} = \frac{z(z^2-1)}{z(z^4-1)} = \frac{z^2-1}{z^4-1} = \frac{z^2-1}{(z^2-1)(z^2+1)} = \frac{1}{z^2+1}$

$\frac{1}{z^2+1}$が実数である条件は、$z^2+1$が実数であること、すなわち、$z^2$が実数であることである。

$z=x+iy$とすると、$z^2 = (x+iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$であるから、$2xy=0$となる。

よって、$x=0$または$y=0$である。

(a) $x=0$のとき、$z=iy$。$z \neq \pm i$より、$y \neq \pm 1$。$z=iy, y \in \mathbb{R}, y \neq 0, y \neq \pm 1$

(b) $y=0$のとき、$z=x$。$z \neq 0, z \neq \pm 1$より、$x \neq 0, x \neq \pm 1$。$z=x, x \in \mathbb{R}, x \neq 0, x \neq \pm 1$

(3) A, B, Cが正三角形の頂点となるとき、$z+z^3\omega+z^5\omega^2 = 0$または$z+z^3\omega^2+z^5\omega = 0$を満たす。ただし、$\omega = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$は1の虚立方根。

$z(1+z^2\omega+z^4\omega^2) = 0$

$z(1+z^2\omega^2+z^4\omega) = 0$

$z \neq 0$なので、

$1+z^2\omega+z^4\omega^2 = 0$または$1+z^2\omega^2+z^4\omega = 0$

$u=z^2$とすると、

$\omega^2 u^2 + \omega u + 1 = 0$ または $\omega u^2 + \omega^2 u + 1 = 0$

解の公式より、

$u = \frac{-\omega \pm \sqrt{\omega^2-4\omega^2}}{2\omega^2} = \frac{-\omega \pm \sqrt{-3\omega^2}}{2\omega^2} = \frac{-\omega \pm i\sqrt{3}\omega}{2\omega^2} = \frac{-\omega \pm i\sqrt{3}\omega}{2\omega^2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2\omega} = \omega, \omega^2$

$u = \frac{-\omega^2 \pm \sqrt{\omega^4-4\omega}}{2\omega} = \frac{-\omega^2 \pm \sqrt{\omega-4\omega}}{2\omega} = \frac{-\omega^2 \pm i\sqrt{3\omega}}{2\omega}$

$z^2 = \omega$または$z^2 = \omega^2$。

$z^2 = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$または$z^2 = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$

A, B, Cが反時計回りである条件は、

$\arg\frac{z^3-z}{z^5-z} = \frac{\pi}{3}$

$\frac{z^3-z}{z^5-z} = \frac{z^2-1}{z^4-1} = \frac{1}{z^2+1}$

$\frac{1}{z^2+1} = re^{i\pi/3}$

(4) 直線ACと直線BCが垂直であるとき、$\frac{z^5-z}{z^5-z^3}$ が純虚数となる。

$\frac{z^5-z}{z^5-z^3} = \frac{z(z^4-1)}{z^3(z^2-1)} = \frac{z^4-1}{z^2(z^2-1)} = \frac{(z^2-1)(z^2+1)}{z^2(z^2-1)} = \frac{z^2+1}{z^2} = 1+\frac{1}{z^2}$

$1+\frac{1}{z^2}$ が純虚数となるためには、その実部が0でなければならない。

$Re(1+\frac{1}{z^2}) = 1+Re(\frac{1}{z^2}) = 0$

$Re(\frac{1}{z^2}) = -1$

$z=x+iy$のとき、$z^2 = x^2-y^2 + 2ixy$

$\frac{1}{z^2} = \frac{1}{x^2-y^2+2ixy} = \frac{x^2-y^2-2ixy}{(x^2-y^2)^2+(2xy)^2} = \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} - i\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}$

よって、$\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} = -1$

$x^2-y^2 = -(x^2+y^2)^2$

$x^2-y^2 = -(x^4+2x^2y^2+y^4)$

$x^4+2x^2y^2+y^4+x^2-y^2 = 0$

$|z|<1$を示す。

3. 最終的な答え

(1) $z \neq 0, \pm 1, \pm i$

(2) $z = iy, y \in \mathbb{R}, y \neq 0, \pm 1$ または $z = x, x \in \mathbb{R}, x \neq 0, \pm 1$

(3) $z^2 = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$または$z^2 = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$。

(4) 証明は省略。