$z^9 = 16+16i$ の解について考える問題です。複素数 $16+16i$ を極形式で表し、$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ とおくとき、与えられた方程式を満たす $r$ の値、$\theta$ の最小の値、そして解を複素数平面上に図示したときの各象限に存在する点の個数を求めます。

1. 問題の内容

$z^9 = 16+16i$ の解について考える問題です。複素数 $16+16i$ を極形式で表し、$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ とおくとき、与えられた方程式を満たす $r$ の値、$\theta$ の最小の値、そして解を複素数平面上に図示したときの各象限に存在する点の個数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $16+16i$ を極形式で表す。

$16+16i = 16(1+i)$

$|1+i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

よって、$16+16i = 16\sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i) = 16\sqrt{2} (\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})$

したがって、アイ=$16$, ウ=$\sqrt{2}$, エ=$4$

(2) $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ とおくとき、

$z^9 = r^9 (\cos 9\theta + i\sin 9\theta)$

$z^9 = 16+16i$ より、$r^9(\cos 9\theta + i\sin 9\theta) = 16\sqrt{2} (\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})$

絶対値を比較して、$r^9 = 16\sqrt{2} = 2^4 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{9}{2}}$

よって、$r = (2^{\frac{9}{2}})^{\frac{1}{9}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$

したがって、カ=$2$

偏角を比較して、$9\theta = \frac{\pi}{4} + 2n\pi$ (nは整数)

$\theta = \frac{\pi}{36} + \frac{2n\pi}{9} = \frac{\pi + 8n\pi}{36} = \frac{(8n+1)\pi}{36}$

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$0 \le \frac{(8n+1)\pi}{36} < 2\pi$

$0 \le 8n+1 < 72$

$-\frac{1}{8} \le n < \frac{71}{8} = 8.875$

$n$ は整数なので、$n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$

$n=0$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{36}$。これが$\theta$ の最小値。

したがって、キ=$3$, ク=$6$

(3) 解は $n = 0, 1, 2, ..., 8$ の9個存在する。

$\theta_n = \frac{(8n+1)\pi}{36}$

$n=0$ のとき、$\theta_0 = \frac{\pi}{36}$ (第1象限)

$n=1$ のとき、$\theta_1 = \frac{9\pi}{36} = \frac{\pi}{4}$ (第1象限)

$n=2$ のとき、$\theta_2 = \frac{17\pi}{36}$ (第2象限)

$n=3$ のとき、$\theta_3 = \frac{25\pi}{36}$ (第2象限)

$n=4$ のとき、$\theta_4 = \frac{33\pi}{36} = \frac{11\pi}{12}$ (第2象限)

$n=5$ のとき、$\theta_5 = \frac{41\pi}{36}$ (第3象限)

$n=6$ のとき、$\theta_6 = \frac{49\pi}{36}$ (第3象限)

$n=7$ のとき、$\theta_7 = \frac{57\pi}{36} = \frac{19\pi}{12}$ (第3象限)

$n=8$ のとき、$\theta_8 = \frac{65\pi}{36}$ (第4象限)

第1象限：2個 ($n=0,1$)

第2象限：3個 ($n=2,3,4$)

第3象限：3個 ($n=5,6,7$)

第4象限：1個 ($n=8$)

したがって、ケ=$2$, コ=$3$, サ=$3$, シ=$1$

3. 最終的な答え

アイ：16

ウ：$\sqrt{2}$

エ：4

オ：9

カ：2

キ：3

ク：6

ケ：2

コ：3

サ：3

シ：1