問題9：Aを引くことを止めてからBがAに衝突する直前までの間の、Aが減速しているときの一定の加速度 $a'$ を、動摩擦係数 $\mu$、重力加速度 $g$ を用いて表す。水平右向きを正とする。 問題10：Aを引くことを止めてからBがAに衝突するまでの間に、Bが進んだ距離を、動摩擦係数 $\mu$、重力加速度 $g$、糸の長さ $L$、速さ $v$ を用いて表す。

1. 問題の内容

問題9：Aを引くことを止めてからBがAに衝突する直前までの間の、Aが減速しているときの一定の加速度 $a'$ を、動摩擦係数 $\mu$、重力加速度 $g$ を用いて表す。水平右向きを正とする。

問題10：Aを引くことを止めてからBがAに衝突するまでの間に、Bが進んだ距離を、動摩擦係数 $\mu$、重力加速度 $g$、糸の長さ $L$、速さ $v$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

問題9：

Aが減速するのは、床との間の動摩擦力による。

動摩擦力の大きさは、$f = \mu N$ であり、$N$ は垂直抗力である。

Aの質量は $m$ なので、$N = mg$ となる。したがって、動摩擦力は $f = \mu mg$ である。

Aに働く力は動摩擦力のみなので、運動方程式は $ma' = -f = -\mu mg$ となる（減速なのでマイナス）。

よって、$a' = -\mu g$ となる。

問題10：

Aが停止するまでの距離を $x_A$ とする。初速度 $v$、加速度 $a' = -\mu g$ で、速度が0になるまでの距離なので、等加速度運動の公式 $v^2 - v_0^2 = 2ax$ より、

$0 - v^2 = 2(-\mu g) x_A$

$x_A = \frac{v^2}{2\mu g}$

BがAに衝突するまでに進む距離を $x_B$ とする。

Aが停止するまでの間に、Bは速度 $v$ で等速運動をする。

Aが停止するまでに移動した距離 $x_A$ が、BがAに衝突するまでに移動する距離 $x_B$ よりも短い場合と長い場合で場合分けをする。

場合1：$x_A \le L$ の場合、つまり、$\frac{v^2}{2\mu g} \le L$ の場合。

BがAに衝突するまでの距離は $x_B = v t_1$ である。

AがBに衝突するまでの時間 $t_1$ は、$L = v t_1 + \frac{1}{2} \mu g t_1^2$ を満たす。

$x_A = L$ より $v^2 / (2 \mu g) \le L$なので、まず衝突すると考える。AとBの距離がLであるとき、Aが静止するまでBは等速運動すると考えられる。

この場合、$v^2 \leq 2\mu gL$が成り立つ.

まず、衝突時刻をtとする。

位置について考えると、

$vt - (vt-\frac{1}{2}\mu g t^2) = L$

$\frac{1}{2}\mu g t^2 = L$

$t = \sqrt{\frac{2L}{\mu g}}$

距離は$vt = v\sqrt{\frac{2L}{\mu g}}$

場合2：$x_A > L$ の場合、つまり、$\frac{v^2}{2\mu g} > L$ の場合。

この場合、Aが距離 $L$ だけ進む時間を $t_2$ とすると、$L = vt_2 - \frac{1}{2} \mu g t_2^2$。

この時のBの移動距離は $x_B = vt_2$。

$t_2 = \frac{v \pm \sqrt{v^2 - 2\mu g L}}{\mu g}$

$t_2$ は時間が小さい方なので、$t_2 = \frac{v - \sqrt{v^2 - 2\mu g L}}{\mu g}$。

したがって、$x_B = vt_2 = v\frac{v - \sqrt{v^2 - 2\mu g L}}{\mu g}$。

3. 最終的な答え

問題9：

$a' = -\mu g$

問題10：

$v^2 \leq 2\mu gL$のとき$v\sqrt{\frac{2L}{\mu g}}$

$v^2 > 2\mu gL$のとき$v\frac{v - \sqrt{v^2 - 2\mu g L}}{\mu g}$