この問題は、二次関数の最大値・最小値、および二次関数のグラフとx軸の共有点の有無とその座標を求める問題です。

1. 問題の内容

この問題は、二次関数の最大値・最小値、および二次関数のグラフとx軸の共有点の有無とその座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) **問題1(2)の解き方**

* $y = x^2 - 6x$ を平方完成します。

$y = (x - 3)^2 - 9$

* $x = 3$ のとき、最小値 $-9$ をとります。

* 最大値は存在しません。

(2) **問題2の解き方**

* $y = x^2 + 2x$ を平方完成します。

$y = (x + 1)^2 - 1$

* 定義域 $-2 \le x \le 1$ における最大値と最小値を求めます。

* $x = -1$ のとき最小値 $-1$ をとります。

* $x = 1$ のとき最大値 $1^2 + 2 \times 1 = 3$ をとります。

(3) **問題3(1)の解き方**

* $y = x^2 - 4x + 3$ と $x$軸との交点を求めるため、$x^2 - 4x + 3 = 0$ を解きます。

$(x - 1)(x - 3) = 0$

$x = 1, 3$

(4) **問題3(2)の解き方**

* $y = x^2 - 14x + 49$ と $x$軸との交点を求めるため、$x^2 - 14x + 49 = 0$ を解きます。

$(x - 7)^2 = 0$

$x = 7$

(5) **問題3(3)の解き方**

* $y = x^2 + 3x + 1$ と $x$軸との交点を求めるため、$x^2 + 3x + 1 = 0$ を解きます。

* 解の公式を用います。

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \times 1 \times 1}}{2 \times 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$

(6) **問題3(4)の解き方**

* $y = x^2 + 2x + 3$ と $x$軸との交点を求めるため、$x^2 + 2x + 3 = 0$ を解きます。

* 解の公式を用います。

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \times 1 \times 3}}{2 \times 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2}$

* 根号の中が負となるため、実数解は存在しません。したがって、グラフとx軸との共有点はありません。

3. 最終的な答え

問題1(2): $x = 3$ のとき、最小値 $-9$。最大値はなし。

問題2: $x = 1$ のとき、最大値 $3$。 $x = -1$ のとき、最小値 $-1$。

問題3(1): $x = 1, 3$

問題3(2): $x = 7$

問題3(3): $x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$

問題3(4): 共有点なし。