複素数 $z$ が方程式 $z\overline{z} + (1+2i)z + (1-2i)\overline{z} + 4 = 0$ を満たしながら動くとき、$|z-2|$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

複素数 $z$ が方程式 $z\overline{z} + (1+2i)z + (1-2i)\overline{z} + 4 = 0$ を満たしながら動くとき、$|z-2|$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を変形する。

$z = x+iy$ ($x, y$ は実数) とおくと、$\overline{z} = x-iy$ である。

このとき、与えられた方程式は

$z\overline{z} + (1+2i)z + (1-2i)\overline{z} + 4 = 0$

$(x+iy)(x-iy) + (1+2i)(x+iy) + (1-2i)(x-iy) + 4 = 0$

$x^2+y^2 + x+iy+2ix-2y + x-iy-2ix-2y + 4 = 0$

$x^2+y^2+2x-4y+4=0$

さらに変形すると、

$(x^2+2x)+(y^2-4y)+4=0$

$(x^2+2x+1)+(y^2-4y+4) = 1$

$(x+1)^2+(y-2)^2=1$

これは、中心が $-1+2i$ で半径が1の円を表す。

$z=x+iy$ とすると、$|z-2|=|x+iy-2|=|(x-2)+iy|=\sqrt{(x-2)^2+y^2}$

この絶対値は、点 $(x,y)$ と点 $(2,0)$ の距離を表している。

円 $(x+1)^2+(y-2)^2=1$ 上の点 $(x,y)$ と点 $(2,0)$ の距離の最大値と最小値を求めれば良い。

円の中心は $(-1,2)$ であり、点 $(2,0)$ との中心間の距離は

$\sqrt{(2-(-1))^2+(0-2)^2} = \sqrt{3^2+(-2)^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$

である。

円の半径は1なので、$|z-2|$ の最大値は $\sqrt{13}+1$ 、最小値は $\sqrt{13}-1$ となる。

3. 最終的な答え

最大値: $\sqrt{13}+1$

最小値: $\sqrt{13}-1$