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与えられた式 $3x^2 + 2xy - y^2 - x + 3y - 2$ を因数分解してください。

代数学因数分解多項式
2025/4/21

1. 問題の内容

与えられた式 3x2+2xy−y2−x+3y−23x^2 + 2xy - y^2 - x + 3y - 2 を因数分解してください。

2. 解き方の手順

与えられた式を xx について整理します。
3x2+(2y−1)x+(−y2+3y−2)3x^2 + (2y - 1)x + (-y^2 + 3y - 2)
次に、定数項 −y2+3y−2-y^2 + 3y - 2 を因数分解します。
−y2+3y−2=−(y2−3y+2)=−(y−1)(y−2)=(1−y)(y−2)-y^2 + 3y - 2 = -(y^2 - 3y + 2) = -(y - 1)(y - 2) = (1-y)(y-2)
したがって、与式は
3x2+(2y−1)x+(1−y)(y−2)3x^2 + (2y - 1)x + (1 - y)(y - 2)
ここで、たすき掛けを使って因数分解できるか試みます。
3x2+(2y−1)x+(1−y)(y−2)=(3x+ay+b)(x+cy+d)3x^2 + (2y - 1)x + (1-y)(y-2) = (3x + ay + b)(x + cy + d) の形に因数分解できると仮定します。
3x23x^2 の係数から 3x3x と xx に分解できると分かります。
定数項 (1−y)(y−2)(1-y)(y-2) から、(1−y)(1-y) と (y−2)(y-2) に分解できると分かります。
(3x+(y−1))(x−(y−2))(3x + (y - 1))(x - (y - 2))
=(3x+y−1)(x−y+2)= (3x + y - 1)(x - y + 2)
=3x2−3xy+6x+xy−y2+2y−x+y−2= 3x^2 - 3xy + 6x + xy - y^2 + 2y - x + y - 2
=3x2−2xy+5x−y2+3y−2= 3x^2 - 2xy + 5x - y^2 + 3y - 2
これは正しい因数分解ではありません。
(3x−(y−2))(x+(y−1))(3x - (y-2))(x + (y - 1))
=(3x−y+2)(x+y−1)= (3x - y + 2)(x + y - 1)
=3x2+3xy−3x−xy−y2+y+2x+2y−2= 3x^2 + 3xy - 3x - xy - y^2 + y + 2x + 2y - 2
=3x2+2xy−x−y2+3y−2= 3x^2 + 2xy - x - y^2 + 3y - 2
これは正しい因数分解です。
したがって、 3x2+2xy−y2−x+3y−2=(3x−y+2)(x+y−1)3x^2 + 2xy - y^2 - x + 3y - 2 = (3x - y + 2)(x + y - 1).

3. 最終的な答え

(3x−y+2)(x+y−1)(3x - y + 2)(x + y - 1)

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