与えられた6つの式を展開する問題です。 (1) $(a+b)^6$ (2) $(x-1)^7$ (3) $(x-3y)^4$ (4) $(2x+y)^5$ (5) $(3x-2y)^4$ (6) $(x+\frac{1}{3})^5$

1. 問題の内容

与えられた6つの式を展開する問題です。

(1) $(a+b)^6$

(2) $(x-1)^7$

(3) $(x-3y)^4$

(4) $(2x+y)^5$

(5) $(3x-2y)^4$

(6) $(x+\frac{1}{3})^5$

2. 解き方の手順

二項定理を利用して展開します。二項定理は以下の式で表されます。

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a^{n-k} b^k$

ここで、${n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ は二項係数です。

(1) $(a+b)^6 = {6 \choose 0}a^6b^0 + {6 \choose 1}a^5b^1 + {6 \choose 2}a^4b^2 + {6 \choose 3}a^3b^3 + {6 \choose 4}a^2b^4 + {6 \choose 5}a^1b^5 + {6 \choose 6}a^0b^6$

$= a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$

(2) $(x-1)^7 = \sum_{k=0}^{7} {7 \choose k} x^{7-k} (-1)^k$

$= {7 \choose 0}x^7(-1)^0 + {7 \choose 1}x^6(-1)^1 + {7 \choose 2}x^5(-1)^2 + {7 \choose 3}x^4(-1)^3 + {7 \choose 4}x^3(-1)^4 + {7 \choose 5}x^2(-1)^5 + {7 \choose 6}x^1(-1)^6 + {7 \choose 7}x^0(-1)^7$

$= x^7 - 7x^6 + 21x^5 - 35x^4 + 35x^3 - 21x^2 + 7x - 1$

(3) $(x-3y)^4 = \sum_{k=0}^{4} {4 \choose k} x^{4-k} (-3y)^k$

$= {4 \choose 0}x^4(-3y)^0 + {4 \choose 1}x^3(-3y)^1 + {4 \choose 2}x^2(-3y)^2 + {4 \choose 3}x^1(-3y)^3 + {4 \choose 4}x^0(-3y)^4$

$= x^4 - 12x^3y + 54x^2y^2 - 108xy^3 + 81y^4$

(4) $(2x+y)^5 = \sum_{k=0}^{5} {5 \choose k} (2x)^{5-k} y^k$

$= {5 \choose 0}(2x)^5y^0 + {5 \choose 1}(2x)^4y^1 + {5 \choose 2}(2x)^3y^2 + {5 \choose 3}(2x)^2y^3 + {5 \choose 4}(2x)^1y^4 + {5 \choose 5}(2x)^0y^5$

$= 32x^5 + 80x^4y + 80x^3y^2 + 40x^2y^3 + 10xy^4 + y^5$

(5) $(3x-2y)^4 = \sum_{k=0}^{4} {4 \choose k} (3x)^{4-k} (-2y)^k$

$= {4 \choose 0}(3x)^4(-2y)^0 + {4 \choose 1}(3x)^3(-2y)^1 + {4 \choose 2}(3x)^2(-2y)^2 + {4 \choose 3}(3x)^1(-2y)^3 + {4 \choose 4}(3x)^0(-2y)^4$

$= 81x^4 - 216x^3y + 216x^2y^2 - 96xy^3 + 16y^4$

(6) $(x+\frac{1}{3})^5 = \sum_{k=0}^{5} {5 \choose k} x^{5-k} (\frac{1}{3})^k$

$= {5 \choose 0}x^5(\frac{1}{3})^0 + {5 \choose 1}x^4(\frac{1}{3})^1 + {5 \choose 2}x^3(\frac{1}{3})^2 + {5 \choose 3}x^2(\frac{1}{3})^3 + {5 \choose 4}x^1(\frac{1}{3})^4 + {5 \choose 5}x^0(\frac{1}{3})^5$

$= x^5 + \frac{5}{3}x^4 + \frac{10}{9}x^3 + \frac{10}{27}x^2 + \frac{5}{81}x + \frac{1}{243}$

3. 最終的な答え

(1) $a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$

(2) $x^7 - 7x^6 + 21x^5 - 35x^4 + 35x^3 - 21x^2 + 7x - 1$

(3) $x^4 - 12x^3y + 54x^2y^2 - 108xy^3 + 81y^4$

(4) $32x^5 + 80x^4y + 80x^3y^2 + 40x^2y^3 + 10xy^4 + y^5$

(5) $81x^4 - 216x^3y + 216x^2y^2 - 96xy^3 + 16y^4$

(6) $x^5 + \frac{5}{3}x^4 + \frac{10}{9}x^3 + \frac{10}{27}x^2 + \frac{5}{81}x + \frac{1}{243}$