与えられた3つの式を因数分解します。 (1) $64x^6 - 1$ (2) $a^6 + 26a^3 - 27$ (3) $(x+y)^3 + z^3$

1. 問題の内容

与えられた3つの式を因数分解します。

(1) $64x^6 - 1$

(2) $a^6 + 26a^3 - 27$

(3) $(x+y)^3 + z^3$

2. 解き方の手順

(1) $64x^6 - 1$ は、差の二乗の形を利用して因数分解します。まず、$64x^6 = (8x^3)^2$、$1 = 1^2$であることから、$64x^6 - 1 = (8x^3)^2 - 1^2 = (8x^3 - 1)(8x^3 + 1)$となります。さらに、$8x^3 = (2x)^3$、$1 = 1^3$であることから、$8x^3 - 1 = (2x)^3 - 1^3$と$8x^3 + 1 = (2x)^3 + 1^3$はそれぞれ因数分解できます。

$A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$、 $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$の公式を用います。

よって、$8x^3 - 1 = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)$、$8x^3 + 1 = (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)$。

したがって、$64x^6 - 1 = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)(2x + 1)(4x^2 - 2x + 1) = (2x-1)(2x+1)(4x^2+2x+1)(4x^2-2x+1)$.

(2) $a^6 + 26a^3 - 27$ は、$A = a^3$とおくと、$A^2 + 26A - 27$となります。これは$(A - 1)(A + 27)$と因数分解できます。

$A = a^3$を代入すると、$a^6 + 26a^3 - 27 = (a^3 - 1)(a^3 + 27)$となります。

$a^3 - 1 = a^3 - 1^3$、$a^3 + 27 = a^3 + 3^3$と変形できるので、(1)と同様に、$A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$、 $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$の公式を用いると、$a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1)$、$a^3 + 27 = (a + 3)(a^2 - 3a + 9)$となります。

したがって、$a^6 + 26a^3 - 27 = (a - 1)(a^2 + a + 1)(a + 3)(a^2 - 3a + 9)$.

(3) $(x+y)^3 + z^3$ は、$A = x+y$とおくと、$A^3 + z^3$となります。これは$A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$の公式を用いて因数分解できます。

$A = x+y$、$B = z$を代入すると、$(x+y)^3 + z^3 = (x+y+z)((x+y)^2 - (x+y)z + z^2) = (x+y+z)(x^2 + 2xy + y^2 - xz - yz + z^2) = (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 + 2xy - xz - yz)$.

3. 最終的な答え

(1) $(2x-1)(2x+1)(4x^2+2x+1)(4x^2-2x+1)$

(2) $(a - 1)(a^2 + a + 1)(a + 3)(a^2 - 3a + 9)$

(3) $(x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 + 2xy - xz - yz)$