次の連立不等式を満たす整数 $x$ がちょうど2個となるような定数 $a$ の値の範囲を求めます。 $ \begin{cases} 5(x-4) < 2(x+1) - 13 \\ \frac{x-a}{2} \geq \frac{x+1}{3} \end{cases} $

1. 問題の内容

次の連立不等式を満たす整数 $x$ がちょうど2個となるような定数 $a$ の値の範囲を求めます。

$\begin{cases} 5(x-4) < 2(x+1) - 13 \\ \frac{x-a}{2} \geq \frac{x+1}{3} \end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式を解きます。

一つ目の不等式：

$5(x-4) < 2(x+1) - 13$

$5x - 20 < 2x + 2 - 13$

$5x - 20 < 2x - 11$

$3x < 9$

$x < 3$

二つ目の不等式：

$\frac{x-a}{2} \geq \frac{x+1}{3}$

$3(x-a) \geq 2(x+1)$

$3x - 3a \geq 2x + 2$

$x \geq 3a + 2$

したがって、連立不等式の解は $3a + 2 \leq x < 3$ となります。

この範囲に含まれる整数 $x$ がちょうど2個となる条件を考えます。

$x$ は整数なので、$x = 2, 1$ がこの範囲に含まれる必要があります。

$3a+2 \leq 1$ かつ $3a+2 > 0$ であれば、$x=1, 2$のみが解になります。

$3a+2 \leq 1$ より、

$3a \leq -1$

$a \leq -\frac{1}{3}$

$3a+2 > 0$ より、

$3a > -2$

$a > -\frac{2}{3}$

よって、 $-\frac{2}{3} < a \leq -\frac{1}{3}$

$x = 2, 1$ が解になる条件を厳密に考えるために、以下のように考えます。

整数解が2つなので、それは $1$ と $2$ です。したがって、次の条件が成り立ちます。

$3a+2 \leq 1$ かつ $3a+2 > 0$　もしくは　$0 < 3a+2 \leq 1$

$0 < 3a+2 \leq 1$ より

$-2 < 3a \leq -1$

$-\frac{2}{3} < a \leq -\frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$-\frac{2}{3} < a \leq -\frac{1}{3}$