問題8では、$\sqrt{7}$, $\sqrt{26}$, $\sqrt{53}$ の整数部分を求める。 問題9では、$\sqrt{1234567}$ と $\sqrt{987654}$ の整数部分が何桁になるかを答える。

1. 問題の内容

問題8では、$\sqrt{7}$, $\sqrt{26}$, $\sqrt{53}$ の整数部分を求める。

問題9では、$\sqrt{1234567}$ と $\sqrt{987654}$ の整数部分が何桁になるかを答える。

2. 解き方の手順

問題8：

平方根の整数部分を求めるには、その数がどの整数の平方の間にあるかを考える。

(1) $\sqrt{7}$ の場合、$2^2 = 4 < 7 < 9 = 3^2$ であるから、$2 < \sqrt{7} < 3$。よって、$\sqrt{7}$ の整数部分は2。

(2) $\sqrt{26}$ の場合、$5^2 = 25 < 26 < 36 = 6^2$ であるから、$5 < \sqrt{26} < 6$。よって、$\sqrt{26}$ の整数部分は5。

(3) $\sqrt{53}$ の場合、$7^2 = 49 < 53 < 64 = 8^2$ であるから、$7 < \sqrt{53} < 8$。よって、$\sqrt{53}$ の整数部分は7。

問題9：

平方根の中身が $10^{2n} \le x < 10^{2n+2}$ であれば、$\sqrt{x}$ の整数部分は $n+1$ 桁になる。平方根の中身の桁数から判断する。

問題文の右側にヒントがある。$10 \le x < 100$ であれば $\sqrt{x}$は2桁、$100 \le x < 1000$ であれば $\sqrt{x}$は3桁、などとなっている。これは$\sqrt{100} = 10$, $\sqrt{1000} = 31.62...$などから判断すれば良い。

別の言い方をすると、$10^{k}$から$10^{k+1}$になる瞬間の平方根の中身が、$10^{2k}$から$10^{2(k+1)}$になると考えるとわかりやすい。

(1) $\sqrt{1234567}$ について、1234567は7桁の数である。

$1000000 \le 1234567 < 10000000$

$10^6 \le 1234567 < 10^7$

$\sqrt{10^6} \le \sqrt{1234567} < \sqrt{10^7}$

$10^3 \le \sqrt{1234567} < 10^{3.5}$

$1000 \le \sqrt{1234567} < 3162.27...$

$\sqrt{1234567}$の整数部分は、$1000$以上$10000$未満の数であるから、4桁の数である。

1234567は7桁の数なので、$\sqrt{1234567}$の整数部分は4桁である。

(2) $\sqrt{987654}$ について、987654は6桁の数である。

$100000 \le 987654 < 1000000$

$10^5 \le 987654 < 10^6$

$\sqrt{10^5} \le \sqrt{987654} < \sqrt{10^6}$

$10^{2.5} \le \sqrt{987654} < 10^3$

$316.22... \le \sqrt{987654} < 1000$

$\sqrt{987654}$の整数部分は、$100$以上$1000$未満の数であるから、3桁の数である。

987654は6桁の数なので、$\sqrt{987654}$の整数部分は3桁である。

3. 最終的な答え

問題8：

(1) 2

(2) 5

(3) 7

問題9：

(1) 4桁

(2) 3桁