4桁の自然数 $n$ の千の位、百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれ $a, b, c, d$ とする。次の条件を満たす $n$ は何個あるか。 (1) $a > b > c > d$ (2) $a < b < c < d$

1. 問題の内容

4桁の自然数 $n$ の千の位、百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれ $a, b, c, d$ とする。次の条件を満たす $n$ は何個あるか。

(1) $a > b > c > d$

(2) $a < b < c < d$

2. 解き方の手順

(1) $a > b > c > d$ の場合

$a, b, c, d$ はそれぞれ $0$ から $9$ までの整数である。$a > b > c > d$ を満たすように $a, b, c, d$ を選ぶということは、 $0$ から $9$ までの $10$ 個の数字の中から相異なる $4$ 個の数字を選び、大きい順に $a, b, c, d$ に割り当てることと同じである。

したがって、求める個数は、10個から4個を選ぶ組み合わせの数に等しい。

$_{10}C_4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$

(2) $a < b < c < d$ の場合

$a, b, c, d$ はそれぞれ $0$ から $9$ までの整数であるが、$a$ は千の位なので、$0$ ではない。したがって、$a \geq 1$。

$1 \leq a < b < c < d \leq 9$ を満たすように $a, b, c, d$ を選ぶということは、$1$ から $9$ までの $9$ 個の数字の中から相異なる $4$ 個の数字を選び、小さい順に $a, b, c, d$ に割り当てることと同じである。

したがって、求める個数は、9個から4個を選ぶ組み合わせの数に等しい。

$_9C_4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 9 \times 2 \times 7 = 126$

3. 最終的な答え

(1) 210個

(2) 126個