$2\sqrt{11}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$2ab + b^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$2\sqrt{11}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$2ab + b^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$2\sqrt{11}$ の整数部分を求めます。

$\sqrt{11}$ は $\sqrt{9} = 3$ と $\sqrt{16} = 4$ の間にあります。

より正確には、$3 < \sqrt{11} < 4$ です。

したがって、$2 \times 3 < 2\sqrt{11} < 2 \times 4$ であり、$6 < 2\sqrt{11} < 8$ となります。

$\sqrt{11}$ がより 3 に近いかどうかを調べるために、$3.3^2 = 10.89$ を計算します。これは11に近いので、$2\sqrt{11}$は6.6に近いです。

より精密に、$3.31^2 = 10.9561$であり、$3.32^2 = 11.0224$です。

したがって$3.31 < \sqrt{11} < 3.32$であり、$6.62 < 2\sqrt{11} < 6.64$です。

したがって、$2\sqrt{11}$の整数部分は6であり、$a=6$です。

次に、$b$ を求めます。$b$ は $2\sqrt{11}$ の小数部分なので、$b = 2\sqrt{11} - a = 2\sqrt{11} - 6$です。

最後に、$2ab + b^2$ の値を求めます。

$2ab + b^2 = b(2a + b) = (2\sqrt{11} - 6)(2 \times 6 + 2\sqrt{11} - 6) = (2\sqrt{11} - 6)(12 + 2\sqrt{11} - 6) = (2\sqrt{11} - 6)(6 + 2\sqrt{11})$

$= (2\sqrt{11} - 6)(2\sqrt{11} + 6) = (2\sqrt{11})^2 - 6^2 = 4 \times 11 - 36 = 44 - 36 = 8$

3. 最終的な答え

$2ab + b^2 = 8$