与えられた3つの式について、二重根号を外して簡単にせよ。 (1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$ (2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$ (3) $\sqrt{2-\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

与えられた3つの式について、二重根号を外して簡単にせよ。

(1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$

(2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$

(3) $\sqrt{2-\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$ について

二重根号 $\sqrt{a+2\sqrt{b}}$ を外すためには、$a$と$b$について、$a=x+y$, $b=xy$ となる $x, y$ を見つける。

このとき、$\sqrt{a+2\sqrt{b}} = \sqrt{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2} = \sqrt{x}+\sqrt{y}$ となる。

今回、$7=x+y$, $10=xy$ を満たす $x, y$ は $x=5, y=2$ である。

したがって、

$\sqrt{7+2\sqrt{10}} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$

(2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$ について

まず、$6\sqrt{3}$ を $2\sqrt{ }$ の形にする。

$6\sqrt{3} = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 2 \sqrt{9 \cdot 3} = 2 \sqrt{27}$

したがって、

$\sqrt{12-6\sqrt{3}} = \sqrt{12-2\sqrt{27}}$

二重根号 $\sqrt{a-2\sqrt{b}}$ を外すためには、$a$と$b$について、$a=x+y$, $b=xy$ となる $x, y$ を見つける。

このとき、$\sqrt{a-2\sqrt{b}} = \sqrt{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2} = |\sqrt{x}-\sqrt{y}|$ となる。

今回、$12=x+y$, $27=xy$ を満たす $x, y$ は $x=9, y=3$ である。

したがって、

$\sqrt{12-2\sqrt{27}} = \sqrt{9} - \sqrt{3} = 3 - \sqrt{3}$

(3) $\sqrt{2-\sqrt{3}}$ について

$\sqrt{2-\sqrt{3}} = \sqrt{2-2\sqrt{\frac{3}{4}}}$ と変形する。しかし、このままでは二重根号を外せない。

根号の中を4倍して、全体を $\frac{1}{2}$ 倍するという方法がある。

$\sqrt{2-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$

$4=x+y$, $3=xy$ を満たす $x, y$ は $x=3, y=1$ である。

したがって、

$\frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{5} + \sqrt{2}$

(2) $3 - \sqrt{3}$

(3) $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$