(1) 2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが3点 $(-1, 1)$, $(0, -1)$, $(1, 2)$ を通るとき、このグラフの頂点の座標を求めます。 (2) 放物線 $y = 4x^2 + ax + b$ が点 $(1, 1)$ を通り、かつ、$x$ 軸に接するとき、この条件を満たす定数 $a, b$ の値の組をすべて求めます。 (3) 放物線 $y = x^2 + 2ax + b$ が点 $(-2, 5)$ を通り、かつ、その頂点が直線 $y = -x + 3$ 上にあるとき、定数 $a, b$ の値の組をすべて求めます。

はい、承知いたしました。各問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) 2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが3点 $(-1, 1)$, $(0, -1)$, $(1, 2)$ を通るとき、このグラフの頂点の座標を求めます。

(2) 放物線 $y = 4x^2 + ax + b$ が点 $(1, 1)$ を通り、かつ、$x$ 軸に接するとき、この条件を満たす定数 $a, b$ の値の組をすべて求めます。

(3) 放物線 $y = x^2 + 2ax + b$ が点 $(-2, 5)$ を通り、かつ、その頂点が直線 $y = -x + 3$ 上にあるとき、定数 $a, b$ の値の組をすべて求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、3点の座標を $y = ax^2 + bx + c$ に代入して、a, b, c に関する連立方程式を立てます。

$(-1, 1)$ を代入：$1 = a - b + c$

$(0, -1)$ を代入：$-1 = c$

$(1, 2)$ を代入：$2 = a + b + c$

$c = -1$ を他の2式に代入すると、

$a - b - 1 = 1$ より $a - b = 2$

$a + b - 1 = 2$ より $a + b = 3$

2つの式を足し合わせると $2a = 5$ より $a = \frac{5}{2}$

$a + b = 3$ に代入すると $\frac{5}{2} + b = 3$ より $b = 3 - \frac{5}{2} = \frac{1}{2}$

よって、$y = \frac{5}{2}x^2 + \frac{1}{2}x - 1$

頂点の座標を求めるため、平方完成します。

$y = \frac{5}{2}(x^2 + \frac{1}{5}x) - 1$

$y = \frac{5}{2}(x^2 + \frac{1}{5}x + (\frac{1}{10})^2) - \frac{5}{2}(\frac{1}{10})^2 - 1$

$y = \frac{5}{2}(x + \frac{1}{10})^2 - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{100} - 1$

$y = \frac{5}{2}(x + \frac{1}{10})^2 - \frac{1}{40} - 1$

$y = \frac{5}{2}(x + \frac{1}{10})^2 - \frac{41}{40}$

したがって、頂点の座標は $(-\frac{1}{10}, -\frac{41}{40})$ です。

(2)

放物線 $y = 4x^2 + ax + b$ が点 $(1, 1)$ を通るので、

$1 = 4(1)^2 + a(1) + b$ より $1 = 4 + a + b$ つまり $a + b = -3$

$x$ 軸に接するということは、判別式 $D = a^2 - 4(4)(b) = a^2 - 16b = 0$

$a + b = -3$ より $b = -a - 3$

$a^2 - 16(-a - 3) = 0$

$a^2 + 16a + 48 = 0$

$(a + 4)(a + 12) = 0$

$a = -4, -12$

$a = -4$ のとき $b = -(-4) - 3 = 1$

$a = -12$ のとき $b = -(-12) - 3 = 9$

したがって、$(a, b) = (-4, 1), (-12, 9)$ です。

(3)

放物線 $y = x^2 + 2ax + b$ が点 $(-2, 5)$ を通るので、

$5 = (-2)^2 + 2a(-2) + b$ より $5 = 4 - 4a + b$ つまり $-4a + b = 1$

頂点の座標を求めます。

$y = x^2 + 2ax + b = (x + a)^2 - a^2 + b$

頂点の座標は $(-a, -a^2 + b)$

頂点が直線 $y = -x + 3$ 上にあるので、 $-a^2 + b = -(-a) + 3$ つまり $-a^2 + b = a + 3$

$-4a + b = 1$ より $b = 4a + 1$

$-a^2 + 4a + 1 = a + 3$

$-a^2 + 3a - 2 = 0$

$a^2 - 3a + 2 = 0$

$(a - 1)(a - 2) = 0$

$a = 1, 2$

$a = 1$ のとき $b = 4(1) + 1 = 5$

$a = 2$ のとき $b = 4(2) + 1 = 9$

したがって、$(a, b) = (1, 5), (2, 9)$ です。

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(-\frac{1}{10}, -\frac{41}{40})$

(2) $(a, b) = (-4, 1), (-12, 9)$

(3) $(a, b) = (1, 5), (2, 9)$