与えられた式 $\sqrt[3]{\sqrt{32}} \times \sqrt{8} \div \sqrt[3]{16}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt[3]{\sqrt{32}} \times \sqrt{8} \div \sqrt[3]{16}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、根号を指数表記に変換します。

$\sqrt[3]{\sqrt{32}} = (32^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}} = 32^{\frac{1}{6}}$

$\sqrt{8} = 8^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[3]{16} = 16^{\frac{1}{3}}$

与式は次のように書き換えられます。

$32^{\frac{1}{6}} \times 8^{\frac{1}{2}} \div 16^{\frac{1}{3}}$

次に、底を2の累乗で表します。

$32 = 2^5$

$8 = 2^3$

$16 = 2^4$

すると、式は次のようになります。

$(2^5)^{\frac{1}{6}} \times (2^3)^{\frac{1}{2}} \div (2^4)^{\frac{1}{3}}$

指数法則 $(a^m)^n = a^{mn}$ を用いて、

$2^{\frac{5}{6}} \times 2^{\frac{3}{2}} \div 2^{\frac{4}{3}}$

除算を乗算に変換します。

$2^{\frac{5}{6}} \times 2^{\frac{3}{2}} \times 2^{-\frac{4}{3}}$

指数法則 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ を用いて、

$2^{\frac{5}{6} + \frac{3}{2} - \frac{4}{3}}$

指数の計算を行います。

$\frac{5}{6} + \frac{3}{2} - \frac{4}{3} = \frac{5}{6} + \frac{9}{6} - \frac{8}{6} = \frac{5+9-8}{6} = \frac{6}{6} = 1$

よって、式は次のようになります。

$2^1 = 2$

3. 最終的な答え

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