仰角 $60^\circ$ の向きに初速度 $19.6 \text{ m/s}$ で小物体を投げ上げた。重力加速度の大きさを $9.8 \text{ m/s}^2$ として、以下の問いに答える。 (1) 小物体の初速度の水平成分 $v_{0x} \text{ [m/s]}$ を求めよ。 (2) 小物体の初速度の鉛直成分 $v_{0y} \text{ [m/s]}$ を求めよ。 (3) 投げてから最高点に達するまでの時間 $t \text{ [s]}$ を求めよ。 (4) 最高点の高さ $H \text{ [m]}$ を求めよ。

1. 問題の内容

仰角 $60^\circ$ の向きに初速度 $19.6 \text{ m/s}$ で小物体を投げ上げた。重力加速度の大きさを $9.8 \text{ m/s}^2$ として、以下の問いに答える。

(1) 小物体の初速度の水平成分 $v_{0x} \text{ [m/s]}$ を求めよ。

(2) 小物体の初速度の鉛直成分 $v_{0y} \text{ [m/s]}$ を求めよ。

(3) 投げてから最高点に達するまでの時間 $t \text{ [s]}$ を求めよ。

(4) 最高点の高さ $H \text{ [m]}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 初速度の水平成分 $v_{0x}$ は、初速度の大きさに $\cos 60^\circ$ をかけたものなので、

$v_{0x} = 19.6 \times \cos 60^\circ$

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ より

$v_{0x} = 19.6 \times \frac{1}{2} = 9.8$

(2) 初速度の鉛直成分 $v_{0y}$ は、初速度の大きさに $\sin 60^\circ$ をかけたものなので、

$v_{0y} = 19.6 \times \sin 60^\circ$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より

$v_{0y} = 19.6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 9.8 \sqrt{3}$

$\sqrt{3} = 1.73$ を用いると、

$v_{0y} = 9.8 \times 1.73 = 16.954 \approx 17.0$

(3) 最高点に達するまでの時間は、鉛直方向の速度が $0$ になるまでの時間である。

鉛直方向の運動は、初速度 $v_{0y}$ で上向きに投げ上げられた物体の運動と同じである。

等加速度運動の公式 $v = v_0 + at$ より、

$0 = v_{0y} - gt$

$t = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{9.8 \sqrt{3}}{9.8} = \sqrt{3}$

$\sqrt{3} = 1.73$ より

$t = 1.73$

(4) 最高点の高さ $H$ は、等加速度運動の公式 $y = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$ より、

$H = v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2$

$H = 9.8\sqrt{3} \times \sqrt{3} - \frac{1}{2} \times 9.8 \times (\sqrt{3})^2$

$H = 9.8 \times 3 - 4.9 \times 3$

$H = 3 \times (9.8 - 4.9)$

$H = 3 \times 4.9 = 14.7$

または、

$v^2 - v_0^2 = 2 a y$ より、

$0^2 - (9.8\sqrt{3})^2 = 2 \times (-9.8) \times H$

$H = \frac{(9.8\sqrt{3})^2}{2 \times 9.8} = \frac{9.8^2 \times 3}{2 \times 9.8} = \frac{9.8 \times 3}{2} = 4.9 \times 3 = 14.7$

3. 最終的な答え

(1) $v_{0x} = 9.8 \text{ m/s}$

(2) $v_{0y} = 17.0 \text{ m/s}$

(3) $t = 1.73 \text{ s}$

(4) $H = 14.7 \text{ m}$