図に示す回路のA-B間の合成抵抗が8Ωとなるように、抵抗 $r$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

図に示す回路のA-B間の合成抵抗が8Ωとなるように、抵抗 $r$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

この回路はブリッジ回路と呼ばれる回路です。

まず、8Ω、16Ω側の並列合成抵抗を計算します。

$R_{並列1} = \frac{8 \times 16}{8 + 16} = \frac{128}{24} = \frac{16}{3} \Omega$

次に、13Ωと $r$ の並列合成抵抗を計算します。

$R_{並列2} = \frac{13r}{13 + r} \Omega$

次に、48Ωと並列合成抵抗を計算します。

$R_{並列3} = \frac{48\times R_{並列2}}{48+R_{並列2}} = \frac{48\times\frac{13r}{13+r}}{48+\frac{13r}{13+r}} = \frac{48 \times 13r}{48(13+r) + 13r} = \frac{624r}{624 + 48r + 13r} = \frac{624r}{624+61r} \Omega$

これらの合成抵抗の直列接続がA-B間の合成抵抗となるので、

$R_{AB} = \frac{16}{3} + \frac{624r}{624 + 61r}$

$R_{AB} = 8$ となるような $r$ の値を求めます。

$8 = \frac{16}{3} + \frac{624r}{624 + 61r}$

$\frac{8 \times 3}{3} - \frac{16}{3} = \frac{624r}{624+61r}$

$\frac{24}{3} - \frac{16}{3} = \frac{8}{3} = \frac{624r}{624+61r}$

$8(624 + 61r) = 3 \times 624r$

$4992 + 488r = 1872r$

$4992 = 1872r - 488r = 1384r$

$r = \frac{4992}{1384} = \frac{624}{173} \approx 3.6069$

上記は誤りです。A-B間の合成抵抗を求める場合、ブリッジ回路が平衡条件を満たすかどうかを確認する必要があります。ブリッジ回路が平衡条件を満たす場合、抵抗は無視できます。

8 / 16 = 13 / rが成り立つとき、ブリッジ回路は平衡条件を満たし、中央の48Ωの抵抗は無視できます。

$\frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

$\frac{13}{r} = \frac{1}{2}$

$r = 26$

この場合、8Ωと16Ωの直列接続、13ΩとrΩの直列接続の並列合成抵抗がAB間の合成抵抗になります。

R1 = 8 + 16 = 24

R2 = 13 + r

AB間の合成抵抗は、24と(13+r)の並列接続であるから

$R_{AB} = \frac{24(13+r)}{24+13+r} = \frac{24(13+r)}{37+r}$

$R_{AB} = 8$ より、

$8 = \frac{24(13+r)}{37+r}$

$8(37+r) = 24(13+r)$

$37+r = 3(13+r)$

$37+r = 39+3r$

$2r = -2$

これは明らかに間違っています。

もう一度問題文を確認すると「合成抵抗が8Ωの場合」となっているため、条件を満たすrを探索する必要があります。

並列合成抵抗を求める計算過程でミスがあるかもしれません。

8Ωと16Ωの並列合成抵抗 = $\frac{8 \times 16}{8 + 16} = \frac{128}{24} = \frac{16}{3}$

13ΩとrΩの並列合成抵抗 = $\frac{13 \times r}{13 + r}$

48Ωは無視して$\frac{16}{3} + \frac{13r}{13 + r} = 8$となるようなrを求めることはできません。

A-B間の合成抵抗が8Ωということはわかっているので、計算があっているか確認します。

Aから見て、上側の経路は8Ωと16Ωの並列で$\frac{16}{3}\Omega$

下側の経路は13ΩとrΩの並列と48Ωの直列で$\frac{13r}{13+r}+48\Omega$

この2つの経路の並列が8Ωになるので

$\frac{\frac{16}{3}(\frac{13r}{13+r}+48)}{\frac{16}{3}+\frac{13r}{13+r}+48}=8$

$\frac{16}{3}(\frac{13r}{13+r}+48)=8(\frac{16}{3}+\frac{13r}{13+r}+48)$

$2(\frac{13r}{13+r}+48)=3(\frac{16}{3}+\frac{13r}{13+r}+48)$

$\frac{26r}{13+r}+96=16+\frac{39r}{13+r}+144$

$0= \frac{13r}{13+r} + 64$

解なしです。

したがって、問題文がおかしいか、どこかの計算を間違えているかのいずれかです。

ブリッジ回路が平衡していると仮定して計算すると、

13 x 16 = 8 x 26 = 208

したがってr = 26となります。

しかし、4択の中に26がないため、ブリッジ回路が平衡しているという仮定は間違っています。

A-Bの合成抵抗を8とするrの値として、最も近い値を選びます。

3. 最終的な答え

3. 0Ω