自然数全体を全体集合 $U$ とし、$U$ の部分集合 $P, Q$ を $P = \{n \mid n \text{ は } 12 \text{ で割り切れる自然数} \}$ $Q = \{n \mid n \text{ は } 15 \text{ で割り切れる自然数} \}$ とする。次の条件を満たす自然数全体の集合を $P, Q$ を用いて書き表す。 (1) 3でも4でも割り切れる (2) 60で割り切れる (3) 15で割り切れるが、4では割り切れない

1. 問題の内容

自然数全体を全体集合 $U$ とし、$U$ の部分集合 $P, Q$ を

$P = \{n \mid n \text{ は } 12 \text{ で割り切れる自然数} \}$

$Q = \{n \mid n \text{ は } 15 \text{ で割り切れる自然数} \}$

とする。次の条件を満たす自然数全体の集合を $P, Q$ を用いて書き表す。

(1) 3でも4でも割り切れる

(2) 60で割り切れる

(3) 15で割り切れるが、4では割り切れない

2. 解き方の手順

(1) 3でも4でも割り切れる自然数は、12で割り切れる自然数と同じである。なぜなら、3と4の最小公倍数が12だからである。したがって、求める集合は $P$ である。

(2) 60で割り切れる自然数は、12でも15でも割り切れる。なぜなら、60は12の倍数であり、15の倍数でもあるからである。

12で割り切れる自然数の集合は $P$ であり、15で割り切れる自然数の集合は $Q$ であるから、求める集合は $P \cap Q$ である。

(3) 15で割り切れるが、4では割り切れない自然数の集合を求める。15で割り切れる自然数の集合は $Q$ である。

$Q$ の要素のうち4で割り切れるものは、15と4の最小公倍数である60で割り切れる。

60で割り切れる自然数の集合は、$P \cap Q$ である。

したがって、15で割り切れるが4で割り切れない自然数の集合は、$Q$ から $P \cap Q$ を取り除いたものであるから、$Q \setminus (P \cap Q)$ である。

これは、$Q - P$ とも書ける。

3. 最終的な答え

(1) $P$

(2) $P \cap Q$

(3) $Q \setminus (P \cap Q)$ （または $Q - P$）