与えられた数を小さい順に並べる問題です。具体的には以下の2つの問題があります。 (3) $\log_2 15$, $\log_2 2^4$ (4) $2\log_{\frac{1}{2}} 3$, $\log_{\frac{1}{4}} 50$

1. 問題の内容

与えられた数を小さい順に並べる問題です。具体的には以下の2つの問題があります。

(3) $\log_2 15$, $\log_2 2^4$

(4) $2\log_{\frac{1}{2}} 3$, $\log_{\frac{1}{4}} 50$

2. 解き方の手順

(3) $\log_2 15$ と $\log_2 2^4$ の大小を比較します。$2^4 = 16$ より、$\log_2 2^4 = \log_2 16$ です。

底が2で1より大きいので、真数が大きいほど対数の値も大きくなります。$15 < 16$ なので、$\log_2 15 < \log_2 16 = \log_2 2^4$です。

(4) $2\log_{\frac{1}{2}} 3$ と $\log_{\frac{1}{4}} 50$ の大小を比較します。

まず、$2\log_{\frac{1}{2}} 3$ を変形します。

$2\log_{\frac{1}{2}} 3 = \log_{\frac{1}{2}} 3^2 = \log_{\frac{1}{2}} 9$

次に、$\log_{\frac{1}{4}} 50$ の底を $\frac{1}{2}$ に変換します。

$\log_{\frac{1}{4}} 50 = \frac{\log_{\frac{1}{2}} 50}{\log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{4})} = \frac{\log_{\frac{1}{2}} 50}{\log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2})^2} = \frac{\log_{\frac{1}{2}} 50}{2}$

よって、$2 \log_{\frac{1}{4}} 50 = \log_{\frac{1}{2}} 50$となります。

$\log_{\frac{1}{2}} 9$ と $\log_{\frac{1}{2}} 50$ を比較します。

底が $\frac{1}{2}$ で1より小さいので、真数が大きいほど対数の値は小さくなります。$9 < 50$ なので、$\log_{\frac{1}{2}} 9 > \log_{\frac{1}{2}} 50$ です。

したがって、$2\log_{\frac{1}{2}} 3 > \log_{\frac{1}{4}} 50$ です。

3. 最終的な答え

(3) $\log_2 15 < \log_2 2^4$

(4) $\log_{\frac{1}{4}} 50 < 2\log_{\frac{1}{2}} 3$