与えられた数列 $1, 3, 3, 1, -3, \dots$ の階差数列を考え、第7項を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた数列 $1, 3, 3, 1, -3, \dots$ の階差数列を考え、第7項を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数列の階差数列を求めます。

階差数列は、隣り合う項の差をとることで求められます。

* 第1項と第2項の差: $3 - 1 = 2$

* 第2項と第3項の差: $3 - 3 = 0$

* 第3項と第4項の差: $1 - 3 = -2$

* 第4項と第5項の差: $-3 - 1 = -4$

したがって、階差数列は $2, 0, -2, -4, \dots$ となります。

この階差数列も等差数列であり、公差は $0 - 2 = -2$ です。

階差数列の第$n$項 $b_n$ は、初項 $2$、公差 $-2$ の等差数列なので、

$b_n = 2 + (n - 1)(-2) = 2 - 2n + 2 = 4 - 2n$

と表されます。

元の数列の第$n$項を$a_n$とすると、$a_1 = 1$ であり、$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (4 - 2k)$

$\sum_{k=1}^{n-1} (4 - 2k) = 4(n-1) - 2 \sum_{k=1}^{n-1} k = 4(n-1) - 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 4(n-1) - (n-1)n = (n-1)(4 - n)$

$a_n = 1 + (n-1)(4-n) = 1 + 4n - n^2 - 4 + n = -n^2 + 5n - 3$

したがって、$a_n = -n^2 + 5n - 3$ となります。

第7項を求めるには、$n = 7$ を代入します。

$a_7 = -(7)^2 + 5(7) - 3 = -49 + 35 - 3 = -17$

3. 最終的な答え

-17