$a$を定数として、次の連立不等式を考える。 $$ \begin{cases} x - 6a \ge -1 & \cdots ① \\ |x + a - 1| < 5 & \cdots ② \end{cases} $$ (1) $x = 1$が不等式①を満たすような$a$の値の範囲を求めよ。 (2) $x = 2$が不等式①を満たさないような$a$の値の範囲を求めよ。 (3) $a = 0$のとき、連立不等式①, ②の解を求めよ。

1. 問題の内容

$a$を定数として、次の連立不等式を考える。

$$$$

\begin{cases}

x - 6a \ge -1 & \cdots ① \\

|x + a - 1| < 5 & \cdots ②

\end{cases}

$$$$

(1) $x = 1$が不等式①を満たすような$a$の値の範囲を求めよ。

(2) $x = 2$が不等式①を満たさないような$a$の値の範囲を求めよ。

(3) $a = 0$のとき、連立不等式①, ②の解を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $x=1$を不等式①に代入すると、

$1 - 6a \ge -1$となる。

これを$a$について解く。

$-6a \ge -2$

$6a \le 2$

$a \le \frac{1}{3}$

(2) $x=2$が不等式①を満たさないので、$x=2$を不等式①に代入したものが成り立たない。つまり、$2-6a < -1$となる。

これを$a$について解く。

$-6a < -3$

$6a > 3$

$a > \frac{1}{2}$

(3) $a = 0$のとき、

不等式①は$x \ge -1$となる。

不等式②は$|x - 1| < 5$となる。

これは$-5 < x - 1 < 5$と同値である。

各辺に1を足すと、$-4 < x < 6$となる。

連立不等式①, ②の解は、$x \ge -1$と$-4 < x < 6$を同時に満たす$x$の範囲である。

つまり、$-1 \le x < 6$

3. 最終的な答え

(1) $a \le \frac{1}{3}$

(2) $a > \frac{1}{2}$

(3) $-1 \le x < 6$