与えられた3つの3次式を因数分解する。 (1) $x^3 - 3x^2 - 6x + 8$ (2) $x^3 - 5x^2 + 3x + 9$ (3) $2x^3 + 3x^2 - 11x - 6$

1. 問題の内容

与えられた3つの3次式を因数分解する。

(1) $x^3 - 3x^2 - 6x + 8$

(2) $x^3 - 5x^2 + 3x + 9$

(3) $2x^3 + 3x^2 - 11x - 6$

2. 解き方の手順

因数定理を利用して、与えられた式を因数分解する。

(1) $x^3 - 3x^2 - 6x + 8$

$P(x) = x^3 - 3x^2 - 6x + 8$ とおく。

$P(1) = 1 - 3 - 6 + 8 = 0$ なので、$x-1$ を因数に持つ。

組み立て除法を行うと、

```

1 | 1 -3 -6 8

| 1 -2 -8

|------------

1 -2 -8 0

```

したがって、$P(x) = (x-1)(x^2 - 2x - 8)$

$x^2 - 2x - 8 = (x-4)(x+2)$ なので、$P(x) = (x-1)(x-4)(x+2)$

(2) $x^3 - 5x^2 + 3x + 9$

$P(x) = x^3 - 5x^2 + 3x + 9$ とおく。

$P(3) = 27 - 45 + 9 + 9 = 0$ なので、$x-3$ を因数に持つ。

組み立て除法を行うと、

```

3 | 1 -5 3 9

| 3 -6 -9

|------------

1 -2 -3 0

```

したがって、$P(x) = (x-3)(x^2 - 2x - 3)$

$x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$ なので、$P(x) = (x-3)(x-3)(x+1) = (x-3)^2(x+1)$

(3) $2x^3 + 3x^2 - 11x - 6$

$P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 11x - 6$ とおく。

$P(2) = 16 + 12 - 22 - 6 = 0$ なので、$x-2$ を因数に持つ。

組み立て除法を行うと、

```

2 | 2 3 -11 -6

| 4 14 6

|------------

2 7 3 0

```

したがって、$P(x) = (x-2)(2x^2 + 7x + 3)$

$2x^2 + 7x + 3 = (2x+1)(x+3)$ なので、$P(x) = (x-2)(2x+1)(x+3)$

3. 最終的な答え

(1) $(x-1)(x-4)(x+2)$

(2) $(x-3)^2(x+1)$

(3) $(x-2)(2x+1)(x+3)$