$x = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ , $y = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ のとき、以下の式の値を求める。 (1) $x+y$ (2) $xy$ (3) $x^2+y^2$ (4) $x^3+y^3$ (5) $x^5+y^5$

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ , $y = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ のとき、以下の式の値を求める。

(1) $x+y$

(2) $xy$

(3) $x^2+y^2$

(4) $x^3+y^3$

(5) $x^5+y^5$

2. 解き方の手順

(1) $x+y$ を求める。

$x = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{5 + 2\sqrt{15} + 3}{5 - 3} = \frac{8 + 2\sqrt{15}}{2} = 4 + \sqrt{15}$

$y = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{5 - 2\sqrt{15} + 3}{5 - 3} = \frac{8 - 2\sqrt{15}}{2} = 4 - \sqrt{15}$

したがって、

$x + y = (4 + \sqrt{15}) + (4 - \sqrt{15}) = 8$

(2) $xy$ を求める。

$xy = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = 1$

(3) $x^2+y^2$ を求める。

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 8^2 - 2(1) = 64 - 2 = 62$

(4) $x^3+y^3$ を求める。

$x^3+y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = (x+y)(x^2+y^2 - xy) = (8)(62 - 1) = 8(61) = 488$

(5) $x^5+y^5$ を求める。

$x^5+y^5 = (x^2+y^2)(x^3+y^3) - x^2y^3 - x^3y^2 = (x^2+y^2)(x^3+y^3) - x^2y^2(x+y) = (x^2+y^2)(x^3+y^3) - (xy)^2(x+y) = (62)(488) - (1)^2(8) = 30256 - 8 = 30248$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = 8$

(2) $xy = 1$

(3) $x^2+y^2 = 62$

(4) $x^3+y^3 = 488$

(5) $x^5+y^5 = 30248$