$\sqrt{3 + \sqrt{5}}$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{3 + \sqrt{5}}$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

二重根号を外すことを試みます。$\sqrt{a+b \sqrt{c}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}$ の形に変形できるとき、

$a = x + y$

$b \sqrt{c} = 2 \sqrt{xy}$

という関係が成り立つことを利用します。

$\sqrt{3+\sqrt{5}}$ を $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ の形に変形できると仮定すると、

$x + y = 3$

$2 \sqrt{xy} = \sqrt{5}$

$4xy = 5$

$xy = \frac{5}{4}$

$x(3-x) = \frac{5}{4}$

$3x - x^2 = \frac{5}{4}$

$x^2 - 3x + \frac{5}{4} = 0$

$4x^2 - 12x + 5 = 0$

$(2x - 1)(2x - 5) = 0$

$x = \frac{1}{2}, \frac{5}{2}$

$x = \frac{5}{2}$ のとき $y = 3 - \frac{5}{2} = \frac{1}{2}$

$x = \frac{1}{2}$ のとき $y = 3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

いずれの場合でも、$x = \frac{5}{2}$ , $y = \frac{1}{2}$ とすれば良い。

したがって、

$\sqrt{3 + \sqrt{5}} = \sqrt{\frac{5}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}$