二項定理を利用して、$(a+b)^6$ を展開しなさい。

1. 問題の内容

二項定理を利用して、$(a+b)^6$ を展開しなさい。

2. 解き方の手順

二項定理は、一般に $(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$ で表されます。

ここで、$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ は二項係数です。

この問題では、$x=a$, $y=b$, $n=6$ なので、

$(a+b)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} a^{6-k} b^k$ を計算します。

各項は以下のようになります。

- $k=0$: $\binom{6}{0} a^6 b^0 = 1 \cdot a^6 \cdot 1 = a^6$

- $k=1$: $\binom{6}{1} a^5 b^1 = 6 \cdot a^5 \cdot b = 6a^5b$

- $k=2$: $\binom{6}{2} a^4 b^2 = \frac{6!}{2!4!} a^4 b^2 = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} a^4 b^2 = 15 a^4 b^2$

- $k=3$: $\binom{6}{3} a^3 b^3 = \frac{6!}{3!3!} a^3 b^3 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} a^3 b^3 = 20 a^3 b^3$

- $k=4$: $\binom{6}{4} a^2 b^4 = \frac{6!}{4!2!} a^2 b^4 = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} a^2 b^4 = 15 a^2 b^4$

- $k=5$: $\binom{6}{5} a^1 b^5 = 6 a b^5$

- $k=6$: $\binom{6}{6} a^0 b^6 = b^6$

これらを合計すると、

$(a+b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$

3. 最終的な答え

$(a+b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$