与えられた行列A, B, C, Dの中から、対称行列と交代行列をすべて答える問題です。 $A = \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 3 & -7 \\ 7 & 3 \end{bmatrix}$, $C = \begin{bmatrix} -4 & 9 \\ 9 & 1 \end{bmatrix}$, $D = \begin{bmatrix} 0 & 8 \\ -8 & 0 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列A, B, C, Dの中から、対称行列と交代行列をすべて答える問題です。

$A = \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 3 & -7 \\ 7 & 3 \end{bmatrix}$, $C = \begin{bmatrix} -4 & 9 \\ 9 & 1 \end{bmatrix}$, $D = \begin{bmatrix} 0 & 8 \\ -8 & 0 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

* 対称行列とは、転置行列が元の行列と等しい行列のことです。すなわち、$A^T = A$となる行列Aのことです。行列の$(i, j)$成分を$a_{ij}$とすると、$a_{ij} = a_{ji}$がすべての$i, j$について成り立つ必要があります。

* 交代行列とは、転置行列が元の行列のマイナス1倍と等しい行列のことです。すなわち、$A^T = -A$となる行列Aのことです。行列の$(i, j)$成分を$a_{ij}$とすると、$a_{ij} = -a_{ji}$がすべての$i, j$について成り立つ必要があります。特に、対角成分はすべて0である必要があります。

行列Aについて:

$A = \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$

$A^T = \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$

$A^T = A$なので、Aは対称行列です。

行列Bについて:

$B = \begin{bmatrix} 3 & -7 \\ 7 & 3 \end{bmatrix}$

$B^T = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -7 & 3 \end{bmatrix}$

$B^T \neq B$ かつ $B^T \neq -B$なので、Bは対称行列でも交代行列でもありません。

行列Cについて:

$C = \begin{bmatrix} -4 & 9 \\ 9 & 1 \end{bmatrix}$

$C^T = \begin{bmatrix} -4 & 9 \\ 9 & 1 \end{bmatrix}$

$C^T = C$なので、Cは対称行列です。

行列Dについて:

$D = \begin{bmatrix} 0 & 8 \\ -8 & 0 \end{bmatrix}$

$D^T = \begin{bmatrix} 0 & -8 \\ 8 & 0 \end{bmatrix}$

$-D = \begin{bmatrix} 0 & -8 \\ 8 & 0 \end{bmatrix}$

$D^T = -D$なので、Dは交代行列です。

3. 最終的な答え

対称行列：A, C

交代行列：D