(1) $\frac{x}{x^2-1} \times \frac{x^2-3x+3}{x^2+2x}$ を計算する。 (2) $\frac{x-4}{x-2} \div \frac{x^2-5x+4}{x^2-4}$ を計算する。 (3) $\frac{x^2-9}{x+2} = x^2-x-6$ を解く。

はい、承知いたしました。画像に書かれた3つの問題について、それぞれ解いていきます。

1. 問題の内容

(1) $\frac{x}{x^2-1} \times \frac{x^2-3x+3}{x^2+2x}$ を計算する。

(2) $\frac{x-4}{x-2} \div \frac{x^2-5x+4}{x^2-4}$ を計算する。

(3) $\frac{x^2-9}{x+2} = x^2-x-6$ を解く。

2. 解き方の手順

(1)

まず、それぞれの式を因数分解します。

$x^2-1 = (x-1)(x+1)$

$x^2+2x = x(x+2)$

したがって、式は次のようになります。

$\frac{x}{(x-1)(x+1)} \times \frac{x^2-3x+3}{x(x+2)}$

約分できる箇所を約分します。$x$が約分できます。

$\frac{1}{(x-1)(x+1)} \times \frac{x^2-3x+3}{(x+2)}$

したがって、

$\frac{x^2-3x+3}{(x-1)(x+1)(x+2)} = \frac{x^2-3x+3}{(x-1)(x^2+3x+2)} = \frac{x^2-3x+3}{x^3+3x^2+2x-x^2-3x-2} = \frac{x^2-3x+3}{x^3+2x^2-x-2}$

(2)

まず、割り算を掛け算に直します。割り算の式を逆数にします。

$\frac{x-4}{x-2} \times \frac{x^2-4}{x^2-5x+4}$

次に、それぞれの式を因数分解します。

$x^2-4 = (x-2)(x+2)$

$x^2-5x+4 = (x-4)(x-1)$

したがって、式は次のようになります。

$\frac{x-4}{x-2} \times \frac{(x-2)(x+2)}{(x-4)(x-1)}$

約分できる箇所を約分します。$(x-4)$と$(x-2)$が約分できます。

$\frac{1}{1} \times \frac{(x+2)}{(x-1)} = \frac{x+2}{x-1}$

(3)

$\frac{x^2-9}{x+2} = x^2-x-6$

$x^2-9=(x-3)(x+3)$より、

$\frac{(x-3)(x+3)}{x+2} = x^2-x-6$

両辺に$x+2$を掛けて、

$(x-3)(x+3) = (x^2-x-6)(x+2)$

$x^2-9 = x^3+2x^2-x^2-2x-6x-12$

$x^2-9 = x^3+x^2-8x-12$

$0 = x^3 - 8x -3$

この三次方程式を解くことは難しいので、問題文に誤りがないか確認してください。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x^2-3x+3}{x^3+2x^2-x-2}$

(2) $\frac{x+2}{x-1}$

(3) $x^3 - 8x -3 = 0$