$x+y$を3で割ったもの、 $y+z$を6で割ったもの、 $z+x$を7で割ったものが等しいとき、$\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}$ の値を求める問題です。ただし、$xyz \neq 0$とします。

1. 問題の内容

$x+y$を3で割ったもの、 $y+z$を6で割ったもの、 $z+x$を7で割ったものが等しいとき、$\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}$ の値を求める問題です。ただし、$xyz \neq 0$とします。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件より、ある定数$k$を用いて以下のように表すことができます。

$x+y=3k$

$y+z=6k$

$z+x=7k$

これらの式をすべて足し合わせると、

$2(x+y+z) = 16k$

$x+y+z = 8k$

この式から、$x+y=3k$を引くと、

$z = 5k$

$y+z=6k$を引くと、

$x = 2k$

$z+x=7k$を引くと、

$y = k$

したがって、$x=2k$, $y=k$, $z=5k$となります。

これを$\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}$に代入すると、

$\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz} = \frac{(2k)^3 + (k)^3 + (5k)^3}{(2k)(k)(5k)} = \frac{8k^3 + k^3 + 125k^3}{10k^3} = \frac{134k^3}{10k^3}$

$k \neq 0$なので、$k^3$で割ることができ、

$\frac{134}{10} = \frac{67}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{67}{5}$