以下の6つの計算問題を解きます。 (1) $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+5)$ (2) $(\sqrt{5}-3)(\sqrt{5}-4)$ (3) $(\sqrt{7}-\sqrt{2})(\sqrt{7}+3\sqrt{2})$ (4) $(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2$ (5) $(2-\sqrt{6})^2$ (6) $(\sqrt{10}+2)(\sqrt{10}-2)$

1. 問題の内容

以下の6つの計算問題を解きます。

(1) $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+5)$

(2) $(\sqrt{5}-3)(\sqrt{5}-4)$

(3) $(\sqrt{7}-\sqrt{2})(\sqrt{7}+3\sqrt{2})$

(4) $(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2$

(5) $(2-\sqrt{6})^2$

(6) $(\sqrt{10}+2)(\sqrt{10}-2)$

2. 解き方の手順

(1) $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+5)$

分配法則を使って展開します。

$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+5) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + 5\sqrt{2} + \sqrt{2} + 5 = 2 + 6\sqrt{2} + 5 = 7 + 6\sqrt{2}$

(2) $(\sqrt{5}-3)(\sqrt{5}-4)$

分配法則を使って展開します。

$(\sqrt{5}-3)(\sqrt{5}-4) = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} - 4\sqrt{5} - 3\sqrt{5} + 12 = 5 - 7\sqrt{5} + 12 = 17 - 7\sqrt{5}$

(3) $(\sqrt{7}-\sqrt{2})(\sqrt{7}+3\sqrt{2})$

分配法則を使って展開します。

$(\sqrt{7}-\sqrt{2})(\sqrt{7}+3\sqrt{2}) = \sqrt{7} \cdot \sqrt{7} + 3\sqrt{7}\sqrt{2} - \sqrt{2}\sqrt{7} - 3\sqrt{2}\sqrt{2} = 7 + 3\sqrt{14} - \sqrt{14} - 3 \cdot 2 = 7 + 2\sqrt{14} - 6 = 1 + 2\sqrt{14}$

(4) $(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2$

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$の公式を使って展開します。

$(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 3 + 2\sqrt{15} + 5 = 8 + 2\sqrt{15}$

(5) $(2-\sqrt{6})^2$

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$の公式を使って展開します。

$(2-\sqrt{6})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 4 - 4\sqrt{6} + 6 = 10 - 4\sqrt{6}$

(6) $(\sqrt{10}+2)(\sqrt{10}-2)$

$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$の公式を使って展開します。

$(\sqrt{10}+2)(\sqrt{10}-2) = (\sqrt{10})^2 - 2^2 = 10 - 4 = 6$

3. 最終的な答え

(1) $7 + 6\sqrt{2}$

(2) $17 - 7\sqrt{5}$

(3) $1 + 2\sqrt{14}$

(4) $8 + 2\sqrt{15}$

(5) $10 - 4\sqrt{6}$

(6) $6$