$70 \times \frac{1}{2-\sqrt{3}}$ の整数の部分を $a$, 小数の部分を $b$ とするとき，$a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$70 \times \frac{1}{2-\sqrt{3}}$ の整数の部分を $a$, 小数の部分を $b$ とするとき，$a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ を有理化します。分母と分子に $2+\sqrt{3}$ を掛けると、

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\frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{1}{2-\sqrt{3}} \times \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}

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したがって、

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70 \times \frac{1}{2-\sqrt{3}} = 70(2+\sqrt{3}) = 140 + 70\sqrt{3}

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$\sqrt{3}$ の近似値を求めます。$1.732 < \sqrt{3} < 1.733$ なので、

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70 \times 1.732 = 121.24 \\

70 \times 1.733 = 121.31

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したがって、 $121.24 < 70\sqrt{3} < 121.31$ であることがわかります。

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140 + 121.24 < 140 + 70\sqrt{3} < 140 + 121.31 \\

261.24 < 140 + 70\sqrt{3} < 261.31

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したがって、$140+70\sqrt{3}$ の整数の部分は $261$ であり、小数の部分は $140+70\sqrt{3} - 261 = 70\sqrt{3} - 121$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 261$

$b = 70\sqrt{3} - 121$