$a, b, c$ が0でない実数で、$a+b+c=0$ のとき、$a(\frac{1}{b} + \frac{1}{c}) + b(\frac{1}{c} + \frac{1}{a}) + c(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a, b, c$ が0でない実数で、$a+b+c=0$ のとき、$a(\frac{1}{b} + \frac{1}{c}) + b(\frac{1}{c} + \frac{1}{a}) + c(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開します。

$a(\frac{1}{b} + \frac{1}{c}) + b(\frac{1}{c} + \frac{1}{a}) + c(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = \frac{a}{b} + \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b}$

次に、項を並び替えます。

$\frac{a}{b} + \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + \frac{a}{c} + \frac{c}{a} + \frac{b}{c} + \frac{c}{b}$

与えられた条件 $a+b+c=0$ を利用します。この条件より、 $a+b = -c$, $a+c = -b$, $b+c = -a$ が成り立ちます。

しかし、この条件を直接代入しても簡単にならないので、別の方法を考えます。

再度、展開した式を別の方法で整理します。

$\frac{a}{b} + \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + \frac{a}{c} + \frac{c}{a} + \frac{b}{c} + \frac{c}{b}$

与式を通分してみます。

$\frac{a}{b} + \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} = \frac{a^2c + a^2b + b^2a + b^2c + c^2b + c^2a}{abc}$

分子を整理します。

$a^2c + a^2b + b^2a + b^2c + c^2b + c^2a = a^2(b+c) + b^2(a+c) + c^2(a+b)$

$a+b+c=0$ なので、$b+c = -a$, $a+c = -b$, $a+b = -c$ を代入します。

$a^2(b+c) + b^2(a+c) + c^2(a+b) = a^2(-a) + b^2(-b) + c^2(-c) = -a^3 - b^3 - c^3$

したがって、$\frac{a}{b} + \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} = \frac{-a^3 - b^3 - c^3}{abc} = -\frac{a^3 + b^3 + c^3}{abc}$

$a+b+c=0$ のとき、$a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ であることが知られています（または、$a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ を利用して証明できます）。

したがって、与式は $-\frac{3abc}{abc} = -3$

3. 最終的な答え

-3