最小公倍数が $18x^3 + 9x^2 - 2x - 1$ で、積が $36x^4 + 36x^3 + 5x^2 - 4x - 1$ であるような2つの2次式を求める問題です。

1. 問題の内容

最小公倍数が $18x^3 + 9x^2 - 2x - 1$ で、積が $36x^4 + 36x^3 + 5x^2 - 4x - 1$ であるような2つの2次式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた最小公倍数と積を因数分解します。

最小公倍数 $18x^3 + 9x^2 - 2x - 1$ を因数分解します。

$18x^3 + 9x^2 - 2x - 1 = 9x^2(2x+1) - (2x+1) = (9x^2 - 1)(2x+1) = (3x-1)(3x+1)(2x+1)$

積 $36x^4 + 36x^3 + 5x^2 - 4x - 1$ を因数分解します。

$36x^4 + 36x^3 + 5x^2 - 4x - 1 = (6x^2 + ax + 1)(6x^2 + bx - 1)$ と仮定します。展開すると、

$36x^4 + (6b+6a)x^3 + (ab)x^2 + (a-b)x - 1$

係数を比較すると、

$6a+6b=36$ より $a+b = 6$

$ab=5$

$a-b=-4$

$a$ と $b$ に関する連立方程式を解くと、$a = 1$、$b = 5$ または $a = 5$、$b = 1$ となります。

$36x^4 + 36x^3 + 5x^2 - 4x - 1 = (6x^2 + x + 1)(6x^2 + 5x - 1) = (6x^2+x+1)(x+1)(6x-1)$

別の因数分解の方法として, 組立除法により $x+1$ を因数に持つことがわかるので,

$36x^4 + 36x^3 + 5x^2 - 4x - 1 = (x+1)(36x^3 + (-36+36)x^2 + (5)x -4x - 1 - (-1)) = (x+1)(36x^3 + 5x - 1)$.

別の方法として、$36x^4 + 36x^3 + 5x^2 - 4x - 1 = (ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc)x + bd$ と表すことを考える。

最小公倍数が $LCM$、2つの2次式を $A$、$B$ とすると、$A \times B = GCD(A,B) \times LCM(A,B)$ が成り立ちます。

したがって、$GCD(A,B) = \frac{A \times B}{LCM(A,B)}$ となります。

$GCD(A,B) = \frac{36x^4 + 36x^3 + 5x^2 - 4x - 1}{18x^3 + 9x^2 - 2x - 1} = \frac{36x^4 + 36x^3 + 5x^2 - 4x - 1}{(3x-1)(3x+1)(2x+1)}$.

ここで、$A$ と $B$ は2次式であるため、$GCD(A,B)$ は1次式または定数です。

$A$ と $B$ の候補として、$(3x-1)$、$(3x+1)$、$(2x+1)$ が考えられます。

$36x^4 + 36x^3 + 5x^2 - 4x - 1 = (3x-1)(ax^2+bx+c)(dx+e)(3x+1)(fx^2+gx+h)(2x+1)(ix^2+jx+k)$

$36x^4 + 36x^3 + 5x^2 - 4x - 1 = (3x-1)(3x+1)(2x+1)(2x+1)$

$A = (3x-1)(2x+1) = 6x^2+x-1$

$B = (3x+1)(6x^2+5x-1)= (3x+1)(2x+1)(3x-1)$

と仮定する

$A = 6x^2+x-1 = (2x+1)(3x-1)$

$B = 6x^2+5x+1 - 1$

2つの2次式を $A$ と $B$ とします。

$A=(3x-1)(2x+1)=6x^2+x-1$

$B=(3x+1)(2x+1)=6x^2+5x+1$

$A \times B = 36x^4 + 36x^3 + 5x^2 - 4x - 1$ を満たす

3. 最終的な答え

2つの2次式は、$6x^2+x-1$ と $6x^2+5x+1$ です。