与えられた3つの式を因数分解する問題です。 (1) $(x^2-4xy)^2 - 16y^4$ (2) $(x+1)^3 - 8$ (3) $(a+b)^3 - (a-c)^3$

1. 問題の内容

与えられた3つの式を因数分解する問題です。

(1) $(x^2-4xy)^2 - 16y^4$

(2) $(x+1)^3 - 8$

(3) $(a+b)^3 - (a-c)^3$

2. 解き方の手順

(1)

与式は $A^2 - B^2$ の形をしているので、因数分解の公式 $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ を利用します。

$A = x^2 - 4xy$、 $B = 4y^2$ とおくと、

$(x^2-4xy)^2 - 16y^4 = (x^2-4xy+4y^2)(x^2-4xy-4y^2)$.

さらに、 $x^2 - 4xy + 4y^2 = (x-2y)^2$ と因数分解できます。

$x^2-4xy-4y^2$ はこれ以上因数分解できません。

よって、 $(x^2-4xy+4y^2)(x^2-4xy-4y^2) = (x-2y)^2(x^2-4xy-4y^2)$

(2)

与式は $A^3 - B^3$ の形をしているので、因数分解の公式 $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$ を利用します。

$A = x+1$、 $B = 2$ とおくと、

$(x+1)^3 - 8 = (x+1)^3 - 2^3 = ((x+1)-2)((x+1)^2 + 2(x+1) + 2^2)$.

これを整理すると、

$(x-1)(x^2+2x+1+2x+2+4) = (x-1)(x^2+4x+7)$.

(3)

与式は $A^3 - B^3$ の形をしているので、因数分解の公式 $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$ を利用します。

$A = a+b$、 $B = a-c$ とおくと、

$(a+b)^3 - (a-c)^3 = ((a+b)-(a-c))((a+b)^2+(a+b)(a-c)+(a-c)^2)$.

これを整理すると、

$(b+c)(a^2+2ab+b^2+a^2-ac+ab-bc+a^2-2ac+c^2) = (b+c)(3a^2+3ab-3ac+b^2-bc+c^2)$.

よって、 $(b+c)(3a^2+3ab-3ac+b^2-bc+c^2)$.

3. 最終的な答え

(1) $(x-2y)^2(x^2-4xy-4y^2)$

(2) $(x-1)(x^2+4x+7)$

(3) $(b+c)(3a^2+3ab-3ac+b^2-bc+c^2)$