与えられた二つの式を因数分解します。 (1) $(x^2 - 4xy)^2 - 16y^4$ (2) $(x+1)^3 - 8$

1. 問題の内容

与えられた二つの式を因数分解します。

(1) $(x^2 - 4xy)^2 - 16y^4$

(2) $(x+1)^3 - 8$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$16y^4$ を $(4y^2)^2$ と見ます。すると、与えられた式は $A^2 - B^2$ の形になり、因数分解の公式 $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ を利用できます。

ここで、$A = x^2 - 4xy$、$B = 4y^2$ と置くと、

$(x^2 - 4xy)^2 - (4y^2)^2 = (x^2 - 4xy + 4y^2)(x^2 - 4xy - 4y^2)$

となります。

さらに、$x^2 - 4xy + 4y^2 = (x - 2y)^2$ であることに注目します。

また、$x^2 - 4xy - 4y^2$ はこれ以上簡単な形に因数分解できません。

(2)

次に、$(x+1)^3 - 8$ を因数分解します。ここで、$8 = 2^3$ なので、$A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$ の因数分解の公式を利用できます。

$A = x+1$、$B = 2$ と置くと、

$(x+1)^3 - 2^3 = ((x+1)-2)((x+1)^2 + 2(x+1) + 2^2)$

$= (x-1)(x^2 + 2x + 1 + 2x + 2 + 4)$

$= (x-1)(x^2 + 4x + 7)$

となります。$x^2 + 4x + 7$ は判別式が $4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12 < 0$ なので、これ以上実数の範囲で因数分解できません。

3. 最終的な答え

(1) $(x - 2y)^2 (x^2 - 4xy - 4y^2)$

(2) $(x - 1)(x^2 + 4x + 7)$