$x^2 - 4x + 1 = 0$のとき、$x^3 + \frac{1}{x^3}$と$x^5 + \frac{1}{x^5}$の値を求める。

## 問題62 (1)

1. 問題の内容

$x^2 - 4x + 1 = 0$のとき、$x^3 + \frac{1}{x^3}$と$x^5 + \frac{1}{x^5}$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - 4x + 1 = 0$を変形して、$x + \frac{1}{x}$を求める。

$x \neq 0$であるから、$x$で割ると、

$x - 4 + \frac{1}{x} = 0$

したがって、$x + \frac{1}{x} = 4$

次に、$x^3 + \frac{1}{x^3}$を求める。

$(x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + 3x^2(\frac{1}{x}) + 3x(\frac{1}{x})^2 + \frac{1}{x^3} = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x})$

よって、

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x})$

$x + \frac{1}{x} = 4$を代入すると、

$x^3 + \frac{1}{x^3} = 4^3 - 3(4) = 64 - 12 = 52$

次に、$x^5 + \frac{1}{x^5}$を求める。

$(x^2 + \frac{1}{x^2})(x^3 + \frac{1}{x^3}) = x^5 + x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^5} = x^5 + \frac{1}{x^5} + (x + \frac{1}{x})$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = 4^2 - 2 = 16 - 2 = 14$

よって、

$x^5 + \frac{1}{x^5} = (x^2 + \frac{1}{x^2})(x^3 + \frac{1}{x^3}) - (x + \frac{1}{x}) = (14)(52) - 4 = 728 - 4 = 724$

3. 最終的な答え

$x^3 + \frac{1}{x^3} = 52$

$x^5 + \frac{1}{x^5} = 724$

## 問題62 (2)

1. 問題の内容

2次方程式$x^2 - x + 1 = 0$の2つの解を$\alpha, \beta$とするとき、$\alpha^3 + \beta^3$, $\alpha^{49} + \beta^{49}$, $\alpha^{50} + \beta^{50}$の値を求める。

2. 解き方の手順

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = 1, \alpha\beta = 1$

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta) = 1^3 - 3(1)(1) = 1 - 3 = -2$

$x^2 - x + 1 = 0$の解は、$x = \frac{1 \pm \sqrt{1-4}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

これは、$x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1) = 0$の解でもあるので、$\alpha^3 = -1, \beta^3 = -1$

よって、$\alpha^6 = 1, \beta^6 = 1$

$\alpha^{49} = \alpha^{6 \cdot 8 + 1} = (\alpha^6)^8 \cdot \alpha = \alpha$

$\beta^{49} = \beta^{6 \cdot 8 + 1} = (\beta^6)^8 \cdot \beta = \beta$

$\alpha^{49} + \beta^{49} = \alpha + \beta = 1$

$\alpha^{50} = \alpha^{6 \cdot 8 + 2} = (\alpha^6)^8 \cdot \alpha^2 = \alpha^2$

$\beta^{50} = \beta^{6 \cdot 8 + 2} = (\beta^6)^8 \cdot \beta^2 = \beta^2$

$\alpha^{50} + \beta^{50} = \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 1^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$

3. 最終的な答え

$\alpha^3 + \beta^3 = -2$

$\alpha^{49} + \beta^{49} = 1$

$\alpha^{50} + \beta^{50} = -1$

## 問題62 (3)

1. 問題の内容

方程式$x^3 = 8$の虚数解の1つを$\alpha$とするとき、$\alpha^4 + 6\alpha^3 + 8\alpha^2 + 8\alpha$の値を求める。

2. 解き方の手順

$x^3 = 8$なので、$\alpha^3 = 8$

$\alpha^4 + 6\alpha^3 + 8\alpha^2 + 8\alpha = \alpha(\alpha^3) + 6\alpha^3 + 8\alpha^2 + 8\alpha = 8\alpha + 6(8) + 8\alpha^2 + 8\alpha = 8\alpha^2 + 16\alpha + 48 = 8(\alpha^2 + 2\alpha + 6)$

$x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 0$

$\alpha$は虚数解なので、$\alpha^2 + 2\alpha + 4 = 0$

したがって、$\alpha^2 + 2\alpha = -4$

$8(\alpha^2 + 2\alpha + 6) = 8(-4 + 6) = 8(2) = 16$

3. 最終的な答え

$\alpha^4 + 6\alpha^3 + 8\alpha^2 + 8\alpha = 16$