$70 \times \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ の整数の部分を $a$, 小数の部分を $b$ とするとき、$a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$70 \times \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ の整数の部分を $a$, 小数の部分を $b$ とするとき、$a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ を有理化します。

$\frac{1}{2 - \sqrt{3}} = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} \times \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 + \sqrt{3}$

次に、$70 \times (2 + \sqrt{3})$ を計算します。

$70 \times (2 + \sqrt{3}) = 140 + 70\sqrt{3}$

$\sqrt{3}$ の近似値は 1.732 です。したがって、$70\sqrt{3}$ はおおよそ $70 \times 1.732 = 121.24$ です。

よって、$140 + 70\sqrt{3} \approx 140 + 121.24 = 261.24$

$1.732 < \sqrt{3} < 1.733$ なので

$70 \times 1.732 < 70\sqrt{3} < 70 \times 1.733$

$121.24 < 70\sqrt{3} < 121.31$

$140 + 121.24 < 140 + 70\sqrt{3} < 140 + 121.31$

$261.24 < 140 + 70\sqrt{3} < 261.31$

したがって、$140 + 70\sqrt{3}$ の整数の部分は 261 です。つまり、$a = 261$ です。

小数の部分 $b$ は $140 + 70\sqrt{3} - 261 = 70\sqrt{3} - 121$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 261$

$b = 70\sqrt{3} - 121$