$a \neq 0$ を満たす実数 $a$ を定数とする。連立方程式 $ \begin{cases} y = ax(1-x) \\ x = ay(1-y) \end{cases} $ が $x \neq y$ を満たす実数の組 $(x, y)$ を解にもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$a \neq 0$ を満たす実数 $a$ を定数とする。連立方程式

$\begin{cases} y = ax(1-x) \\ x = ay(1-y) \end{cases}$

が $x \neq y$ を満たす実数の組 $(x, y)$ を解にもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、二つの式から $x, y$ を消去して $a$ についての式を導きます。

$y = ax(1-x)$ と $x = ay(1-y)$ の差をとると、

$y - x = ax(1-x) - ay(1-y)$

$y - x = a(x - x^2 - y + y^2)$

$y - x = a(x - y - (x^2 - y^2))$

$y - x = a(x - y - (x - y)(x + y))$

$y - x = a(x - y)(1 - (x + y))$

$y - x = -a(y - x)(1 - (x + y))$

$x \neq y$ より $y - x \neq 0$ なので、$y - x$ で割ると、

$1 = -a(1 - (x + y))$

$1 = -a + a(x + y)$

$1 + a = a(x + y)$

$x + y = \frac{1 + a}{a}$

また、$y = ax(1-x)$ と $x = ay(1-y)$ の和をとると、

$x + y = ax - ax^2 + ay - ay^2$

$x + y = a(x + y) - a(x^2 + y^2)$

$x + y = a(x + y) - a((x + y)^2 - 2xy)$

$x + y = a(x + y) - a(x + y)^2 + 2axy$

$\frac{1 + a}{a} = a\frac{1 + a}{a} - a(\frac{1 + a}{a})^2 + 2axy$

$\frac{1 + a}{a} = (1 + a) - \frac{(1 + a)^2}{a} + 2axy$

$\frac{1 + a}{a} - (1 + a) + \frac{(1 + a)^2}{a} = 2axy$

$\frac{1 + a - a - a^2 + 1 + 2a + a^2}{a} = 2axy$

$\frac{2 + 2a}{a} = 2axy$

$\frac{2(1 + a)}{a} = 2axy$

$xy = \frac{1 + a}{a}$

$x + y = \frac{1 + a}{a}$、 $xy = \frac{1 + a}{a}$ より、$x, y$ は $t$ の二次方程式

$t^2 - \frac{1 + a}{a}t + \frac{1 + a}{a} = 0$ の解である。

$x \neq y$ なので判別式 $D > 0$

$D = (\frac{1 + a}{a})^2 - 4\frac{1 + a}{a} = \frac{(1 + a)^2 - 4a(1 + a)}{a^2} = \frac{(1 + a)(1 + a - 4a)}{a^2} = \frac{(1 + a)(1 - 3a)}{a^2} > 0$

$a^2 > 0$ なので $(1 + a)(1 - 3a) > 0$

$-1 < a < \frac{1}{3}$

$a \neq 0$ より、$-1 < a < 0$, $0 < a < \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$-1 < a < 0$, $0 < a < \frac{1}{3}$