不等式 $(y+x^2)(x+y+6) < 0$ の表す領域を図示する問題です。ただし、$l: y+x^2=0$、$m: x+y+6=0$ とおきます。空欄 1～4 と 12 に適切な選択肢を入れ、領域を図示します。

1. 問題の内容

不等式 $(y+x^2)(x+y+6) < 0$ の表す領域を図示する問題です。ただし、$l: y+x^2=0$、$m: x+y+6=0$ とおきます。空欄 1～4 と 12 に適切な選択肢を入れ、領域を図示します。

2. 解き方の手順

まず、不等式 $(y+x^2)(x+y+6) < 0$ を解きます。2つの因数の積が負であるため、次の2つの場合に分けられます。

(i) $y+x^2 > 0$ かつ $x+y+6 < 0$

(ii) $y+x^2 < 0$ かつ $x+y+6 > 0$

次に、$y="$ の形に直します。

(i) の場合、$y > -x^2$ かつ $y < -x-6$

(ii) の場合、$y < -x^2$ かつ $y > -x-6$

したがって、空欄は次のようになります。

1: <

2: >

3: <

4: >

次に、$l$ と $m$ の交点の座標を求めます。

$y+x^2 = 0$ と $x+y+6=0$ より、$y = -x^2$ かつ $y = -x-6$ です。

$-x^2 = -x-6$ を解くと、

$x^2 - x - 6 = 0$

$(x-3)(x+2) = 0$

$x = 3, -2$

$x=3$ のとき、$y = -3-6 = -9$

$x=-2$ のとき、$y = -(-2)-6 = 2-6 = -4$

したがって、交点の座標は $(3, -9)$ と $(-2, -4)$ となります。

5: 3

6: -9

7: -2

8: -4

領域を図示すると、$l$ と $m$ で区切られた領域のうち、不等式を満たす部分になります。

3. 最終的な答え

1: <

2: >

3: <

4: >

5: 3

6: -9

7: -2

8: -4

12: 解答領域は、放物線 $y=-x^2$ の上側と直線 $y=-x-6$ の下側の共通部分、または放物線 $y=-x^2$ の下側と直線 $y=-x-6$ の上側の共通部分。