以下の式を計算してください。 $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}} + \frac{\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{7}}$

1. 問題の内容

以下の式を計算してください。

$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}} + \frac{\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{7}}$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数を有理化します。

一つ目の分数 $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}}$ の分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}} = \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7})(\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7})}{(\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7})(\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7})}$

分母は $(\sqrt{2}+\sqrt{5})^2 - (\sqrt{7})^2 = (2 + 2\sqrt{10} + 5) - 7 = 2\sqrt{10}$

分子は $(\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7})^2 = (\sqrt{2}+\sqrt{5})^2 + 2(\sqrt{2}+\sqrt{5})\sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 2 + 2\sqrt{10} + 5 + 2\sqrt{14} + 2\sqrt{35} + 7 = 14 + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{14} + 2\sqrt{35}$

したがって、

$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}} = \frac{14 + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{14} + 2\sqrt{35}}{2\sqrt{10}} = \frac{7 + \sqrt{10} + \sqrt{14} + \sqrt{35}}{\sqrt{10}}$

二つ目の分数 $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{7}}$ の分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{7}} = \frac{(\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7})(\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7})}{(\sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{7})(\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7})}$

分母は $(\sqrt{2}-\sqrt{5})^2 - (\sqrt{7})^2 = (2 - 2\sqrt{10} + 5) - 7 = -2\sqrt{10}$

分子は $(\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7})^2 = (\sqrt{2}-\sqrt{5})^2 + 2(\sqrt{2}-\sqrt{5})\sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 2 - 2\sqrt{10} + 5 + 2\sqrt{14} - 2\sqrt{35} + 7 = 14 - 2\sqrt{10} + 2\sqrt{14} - 2\sqrt{35}$

したがって、

$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{7}} = \frac{14 - 2\sqrt{10} + 2\sqrt{14} - 2\sqrt{35}}{-2\sqrt{10}} = \frac{-7 + \sqrt{10} - \sqrt{14} + \sqrt{35}}{\sqrt{10}}$

よって、

$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}} + \frac{\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{7}} = \frac{7 + \sqrt{10} + \sqrt{14} + \sqrt{35}}{\sqrt{10}} + \frac{-7 + \sqrt{10} - \sqrt{14} + \sqrt{35}}{\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{10} + 2\sqrt{35}}{\sqrt{10}} = 2 + 2\sqrt{\frac{35}{10}} = 2 + 2\sqrt{\frac{7}{2}} = 2 + \sqrt{14}$

3. 最終的な答え

$2 + \sqrt{14}$