与えられた9つの根号を含む式の加法・減法を計算し、できる限り簡単にする問題です。

はい、承知いたしました。画像にある加法と減法の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた9つの根号を含む式の加法・減法を計算し、できる限り簡単にする問題です。

2. 解き方の手順

各問題について、根号の中の数を素因数分解し、根号の外に出せるものは出して整理します。そして、同じ根号を持つ項同士を計算します。最後に分母に根号がある場合は有理化を行います。

(1) $3\sqrt{2} - \sqrt{2} = (3-1)\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

(2) $\sqrt{27} + 2\sqrt{3} = \sqrt{3^3} + 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = (3+2)\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$

(3) $\sqrt{160} + 3\sqrt{40} = \sqrt{16 \cdot 10} + 3\sqrt{4 \cdot 10} = 4\sqrt{10} + 3 \cdot 2\sqrt{10} = 4\sqrt{10} + 6\sqrt{10} = (4+6)\sqrt{10} = 10\sqrt{10}$

(4) $\sqrt{28} - \sqrt{112} = \sqrt{4 \cdot 7} - \sqrt{16 \cdot 7} = 2\sqrt{7} - 4\sqrt{7} = (2-4)\sqrt{7} = -2\sqrt{7}$

(5) $\sqrt{80} - \sqrt{45} - 2\sqrt{5} = \sqrt{16 \cdot 5} - \sqrt{9 \cdot 5} - 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5} - 3\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = (4-3-2)\sqrt{5} = -1\sqrt{5} = -\sqrt{5}$

(6) $\sqrt{54} + 3\sqrt{24} - \sqrt{96} = \sqrt{9 \cdot 6} + 3\sqrt{4 \cdot 6} - \sqrt{16 \cdot 6} = 3\sqrt{6} + 3 \cdot 2\sqrt{6} - 4\sqrt{6} = 3\sqrt{6} + 6\sqrt{6} - 4\sqrt{6} = (3+6-4)\sqrt{6} = 5\sqrt{6}$

(7) $4\sqrt{3} - \sqrt{50} - \sqrt{12} + 2\sqrt{2} = 4\sqrt{3} - \sqrt{25 \cdot 2} - \sqrt{4 \cdot 3} + 2\sqrt{2} = 4\sqrt{3} - 5\sqrt{2} - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2} = (4-2)\sqrt{3} + (-5+2)\sqrt{2} = 2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}$

(8) $\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{6} + \frac{9\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3} + 9\sqrt{3}}{6} = \frac{11\sqrt{3}}{6}$

(9) $\frac{2}{\sqrt{45}} - \frac{\sqrt{20}}{3} + \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{2}{3\sqrt{5}} - \frac{2\sqrt{5}}{3} + \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{15} - \frac{10\sqrt{5}}{15} + \frac{12\sqrt{5}}{15} = \frac{2\sqrt{5} - 10\sqrt{5} + 12\sqrt{5}}{15} = \frac{4\sqrt{5}}{15}$

3. 最終的な答え

(1) $2\sqrt{2}$

(2) $5\sqrt{3}$

(3) $10\sqrt{10}$

(4) $-2\sqrt{7}$

(5) $-\sqrt{5}$

(6) $5\sqrt{6}$

(7) $2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}$

(8) $\frac{11\sqrt{3}}{6}$

(9) $\frac{4\sqrt{5}}{15}$